近世代数理论基础8：群与子群

群与子群

集合上的运算

定义：设A是一个非空集合,一个从 $A\times A$ 到A中的映射 $f$ 称为集合A上的一个二元运算,简称为运算,也称为乘法或加法,记 $(a,b)$ 在f下的像为 $a\cdot b$$(ab)$ 或 $a+b$ ,称为a与b的积或和

群

定义：设G是一个非空集合,且G上有一个乘法" $\cdot$ "满足下列条件：

1. $\forall a,bc\in G$ ,有 $(ab)c=a(bc)$ (乘法的结合律)

2. $\exists e\in G$ , $\forall a\in G$ ,有 $ae=ea=a$ (e称为群G的单位元)

3. $\forall a\in G$ , $\exists b\in G$ ,使 $ab=ba=e$ (b称为a的逆元,记作 $a^{-1}$ )

则称G关于乘法" $\cdot$ "构成一个群

注：一个集合上可定义多种乘法,用 $(G,\cdot)$ 表示群,简记作G

交换群

设 $(G,\cdot)$ 是一个群,若 $\forall a,b\in G$ ,有 $ab=ba$ ,则称G为交换群(Abel群),否则称为非交换群(非Abel群)

例：记 $GL(n,R)$ 为实数域R上的n阶可逆矩阵的全体所成集合,其乘法为矩阵的乘法,则 $GL(n,R)$ 构成一个非交换群

有限群

设 $(G,\cdot)$ 是一个群,G所含元的个数称为群G的阶,记作 $|G|$ ,若$|G|为有限数,则称G为有限群,否则称为无限群

注：若 $a\in G$ ,由乘法结合律,n个a的连乘 $aa\cdots a$ 有意义,记作 $a^n$ ,规定 $a^0=e$ ,将满足 $a^n=e$ 的最小正整数n称为元a的阶,记作 $o(a)$ ,若上述n不存在,则称a的阶无限,记作 $o(a)=\infty$

例：在集合 $Z/18Z=\{[0],[1],[2],\cdots,[17]\}$ 中定义运算" $+$ "： $[a]+[b]=[a+b]$ ,显然, $(Z/18Z,+)$ 是群,其中单位元为 $[0]$

$[12]\neq [0]$ , $[12]+[12]=[24]=[6]\neq [0]$ , $[12]+[12]+[12]=[36]=[0]$ ,故 $o([12])=3$

消去律

定理：设 $(G,\cdot)$ 是群,则G满足消去律：

1.左消去律： $\forall a,b,x\in G$ ,若 $xa=xb$ ,则 $a=b$

2.右消去律： $\forall a,b,y\in G$ ,若 $ay=by$ ,则 $a=b$

证明：

$若xa=xb$

$两端左乘x^{-1}可得$

$x^{-1}(xa)=(x^{-1}x)a=ea=a$

$x^{-1}(xb)=(x^{-1}x)b=eb=b$

$\therefore a=b$

$同理可证右消去律成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

子群

定义：设 $(G,\cdot)$ 是群,H是G的非空子集,若H关于G中的乘法构成一个群,则称H为G的子群,记作 $H\le G$ ,若 $H\neq G$ ,则称H为G的真子群,记作 $H\lt G$

注：显然 $(Z,+)$ 是 $(R,+)$ 的真子群, $(R,+)$ 是 $(C,+)$ 的真子群

平凡子群

若 $(G,\cdot)$ 是群,则 $\{e\}$ 和G显然是G的子群,称为G的平凡子群

判断方法

引理：设 $(G,\cdot)$ 是群, $H\le G$ ,则H中的单位元与G中的单位元相同

证明：

$设e_H为子群H中的单位元,e为群G中的单位元$

$由单位元的性质$

$e_H\cdot e=e_H=e_H\cdot e_H$

$在群G中利用左消去律$

$e=e_H\qquad\mathcal{Q.E.D}$

引理：设 $(G,\cdot)$ 是群, $H\le G$ , $\forall a\in H$ ,则a在H中的逆元与在G中的逆元相同

证明：

$记a在G中的逆元为a^{-1}$

$a在子群H中的逆元为a_H^{-1}$

$则a^{-1}=a^{-1}\cdot e=a^{-1}\cdot e_H=a^{-1}\cdot (a\cdot a_H^{-1})$

$=(a^{-1}\cdot a)\cdot a_H^{-1}=e\cdot a_H^{-1}=a_H^{-1}$

$即a^{-1}=a_H^{-1}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $(G,\cdot)$ 是群,H为G的非空子集,则下列条件等价：

1.H为G的子群

2. $\forall a,b\in H$ ,有 $ab\in H$ ,且 $a^{-1}\in H$

3. $\forall a,b\in H$ ,有 $ab^{-1}\in H$

证明：

$1\Rightarrow 2：$

$\because H\le G$

$\therefore \forall a,b\in H,有ab\in H$

$\forall a\in H,a在H中的逆元为a^{-1}\in H$

$2\Rightarrow 3：$

$\because \forall a,b\in H,有ab\in H且b^{-1}\in H$

$\therefore ab^{-1}\in H$

$3\Rightarrow 1：$

$\because \forall a,b\in H,有ab^{-1}\in H$

$取b=a,则$

$e=aa^{-1}\in H$

$取a=e,则$

$\forall b\in H,有eb^{-1}=b^{-1}\in H$

$\therefore ab=a(b^{-1})^{-1}\in H$

$即H关于乘法封闭$

$且存在单位元和逆元$

$H关于乘法满足结合律$

$\therefore H\le G\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $(G,\cdot)$ 是群, $\{H_i|i\in I\}$ 为G的一个子群簇,其中I为某个指标集,则 $\underset{i\in I}\bigcap H_i$ 也是G的子群

证明：

$显然e\in \underset{i\in I}\bigcap H_i$

$\therefore \underset{i\in I}\bigcap H_i\neq \varnothing$

$\forall a,b\in \underset{i\in I}\bigcap H_i,\forall i\in I,有a,b\in H_i$

$\therefore \forall i\in I,有ab^{-1}\in H_i$

$\therefore ab^{-1}\in \underset{i\in I}\bigcap H_i$

$\therefore \underset{i\in I}\bigcap H_i是G的子群\qquad\mathcal{Q.E.D}$

生成子群

设 $(G,\cdot)$ 是群,S是群G的非空子集,G中所有包含S的子群的交称为由S生成的子群,记作 $<S>$ ,即 $<S>=\underset{H\le G\\S\subseteq H}\bigcap H$

易证 $<S>=\{s_1^{e_1}s_2^{e_2}\cdots s_n^{e_n}|s_i\in S,e_i\in Z,n=0,1,2,\cdots\}$

特别：

若 $S=\{a\}$ ,则 $<a>=\{a^n|n\in Z\}$

若 $<S>=G$ ,则称G是由S生成的,S中的元称为G的生成元,若S是有限集,则称G是有限生成的,否则成G是无限生成的

显然,有限群是有限生成的,但有限生成的群不一定是有限群,例如 $(Z,+)$ 是由1生成的无限群

无限生成群

例：有理数集Q关于加法" $+$ "构成一个群 $(Q,+)$ 不是有限生成的

证：

$若不然,即(Q,+)是有限生成的$

$设其生成元为a_1,a_2,\cdots,a_s$

$不妨设a_i\gt 0,i=1,2,\cdots,s$

$设a_i=m_i/n_i$

$其中m_i,n_i\in Z_+且(m_i,n_i)=1$

$\because 素数有无限多$

$\therefore \exists 素数p使p与n_1,n_2,\cdots,n_s互素$

$\because <a_1,a_2,\cdots,a_s>中每一有理数m/n$

$其分母一定是n_1n_2\cdots n_s的因数$

$则1/p\notin <a_1,a_2,\cdots,a_s>$

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