变量替换公式
使用方式: 作替换
例1. 求定积分
令,
, 当x=-1时, u = 0; 当x=1时，u=2。
定义 曲线之间的面积
若f和g连续并在[a, b] 上,则在从a到b的曲线
和
之间的区域面积上
从a到b的积分
如何求两条曲线之间的面积?
- 画曲线的图并画出一个典型矩形，这能显示出哪条曲线时f(上曲线)和那条曲线时g(下曲线).
- 求积分限
- 写出
的表达式
- 从a到b积分
, 得到的数就是面积
例2. 求抛物线
和直线
所围区域的面积。
为了方便大家理解，这里使用python的numpy和matplotlib绘制图形。
绘制代码如下:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-3, 3, step=0.01)
fx = 2 - np.power(x, 2)
gx = -x
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) = 2 - x^2')
plt.plot(x, fx)
plt.show()
可以看的出为上界,
为下界。令
, 得
,
。
和
的相交点为
和
。
计算这里的曲线面积
例3. 求由抛物线
和直线所围区域的面积。
使用如下代码绘制函数
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(0, 6, step=0.01)
fx = np.sqrt(x)
gx = x - 2
plt.axis([0, 4, 0, 4])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.plot(x, fx, label = 'f(x) = √x')
plt.plot(x, gx, label ='g(x) = x - 2')
plt.legend()
plt.show()
得到:
g(x)和x轴的交点为，g(x)和f(x)的交点为, 由图形可以看出这里的面积分为两个区域计算:[0, 2]区域的面积A1和[2, 4]区域的面积A2.
