尤瓦尔赫拉利的第二个故事
从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。一天，老和尚在对小和尚讲故事，故事的内容是……
这个赫拉利看来是跟我们杠上了。那我们就解一下这个谜语，烟神也被激发了斗志。
这是一个无限循环，俄罗斯套娃，克莱因瓶，莫比乌斯环……
烟神转身问李婷
纯循环小数用分数怎么表示
李婷回答
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同.
例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999。
混循环化分数：
将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同.
例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。
好了，我不跟你聊天了，太费脑细胞。烟神被绕晕了
李婷笑到，脑子是越用越聪明，你不用，脑子就要坏掉了。
这条路不通，再想想
这其实相当于一个病毒的原理！！
你可以这样理解！！因为你是想要执行的是无限循环。
无限递归，烟神想到了
什么是递归？灵珠问到
一个事物由这个事物本身所构建，那么在理解这个事物的时候，就需要先理解事物的构成，于是就回到理解这个事物本身，从而再次需要理解这个事物的构成……这个不断循环理解的过程就形成了——递归。
显然，这个递归的解释本身也是递归的。
而从字面意思来看，递——是传递，归——是回归，那么从传递开始回归到传递的开始，就是从一个地方出发，回到了出发的地方，就完成了一次循环，而不断重复这个循环，就是——递归。
递归有两个要素，即：循环嵌套和自身构建。
首先，循环嵌套——就是一遍又一遍的重复同样的过程，且每次重复都嵌套在上一次的重复之中。
其次，自身构建——就是在循环嵌套的过程中，每次重复的过程和内容，都是由同一个“自身”（代表着结构和模式）所构成的。
例如，在上面这个递归故事中：
循环嵌套的——就是老和尚和小和尚在庙里说故事，其代表了上层循环的故事，也引出了下层循环的故事。
而自身构建的——就是这个故事的内容，其具有相同的结构和模式，有趣的是这同样也是“老和尚和小和尚在庙里说故事”。
于是我们可以看到，老和尚和小和尚在庙里说的故事就是——“老和尚和小和尚在庙里说故事”。所以，这个故事是递归的，因为故事循环嵌套，且故事是由其故事自身相同的结构和模式，所嵌套而构成的。
那么继续展开来说，这里有以下几点值得深思，并细细体会一番：
第一，自身构建，虽然其基本构成有相同的结构和模式，但不代表其内容和内涵是相同的。
例如，“老和尚和小和尚在庙里说故事”——是相同的结构和模式，但在每次循环中，都是不同的老和尚和小和尚，而这个说的故事，则包含了其后所有嵌套的故事的总和——也就是说每次循环中老和尚说的故事，都是其后所有故事的总和，且其后的每一个故事都有一个不同的老和尚和小和尚。
那么，“一个事物由这个事物本身所构建，那么在理解这个事物的时候，就需要先理解事物的构成，于是就回到理解这个事物本身。”——这里，其实每次回到理解这个事物本身的时候，这个事物就已经不是原来的那个事物了，只是这些事物拥有相同的结构和模式，但不具有相同的内容和内涵。
第二，结构和模式相同，内容与内涵不同，意思就是说，结构和模式不变，但结构和模式所承载的数据变得不同了。
那么，“从传递开始回归到传递的开始，就是从一个地方出发，回到了出发的地方。”——这就是说，其实地方还是原来开始的地方，但这个地方的环境数据（环境信息），却发生了变化，与之前变的不同了。
于是很自然的，我们就会问，那在递归中的环境数据怎么就不同了？为什么会不同了？不同在哪里了？
事实上，老和尚、小和尚、庙、故事——就是数据（信息）。在每层的循环中，老和尚、小和尚、庙都对应着当前的故事——这是每层循环都不一样的一个故事，虽然结构和模式是一样的，但却是另外的时间、地点和人物，只不过同名同姓又同地（相同环境）。而老和尚和小和尚在说的故事，则指向了下一个同样结构和模式的故事。
由此，我们可以看到，环境数据——不同的老和尚、小和尚、庙，存储在了上下文中的结构之中。这个结构拥有相同的模式——就是“老和尚和小和尚在庙里说故事”，其中老和尚、小和尚、庙、故事都是结构的组成，可以替换成任意其它的同类型对象（比如不同的老和尚1，老和尚2……等等，以此类推），所以它们都是变量——存储着不同的数据。
第三，在递归的循环嵌套中，其任意局部的循环嵌套部分，也是递归的。
例如，在任意嵌套深度，局部的来看，重复嵌套的结构和模式都是——“老和尚和小和尚在庙里说的故事”，那么单看这些循环嵌套的局部，也亦是递归。
所以，在整体上的递归，在局部也存在着递归，甚至有时候——递归是由递归所构建而成的。
第四，在递归中的自身构建，其相同的结构和模式，是可以拥有任意复杂度的。
也就是说，这个结构和模式，可以是由简单形式组合而成的复杂形式的——什么意思？举一个例子，让我们来扩展一下那个递归故事：
从前有一座山，山里有一座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有一座山，山里有一座庵，庵里有一个老尼姑和一个小尼姑，她们在说故事，故事是什么呢？从前有一座山，山里有一座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，他们在说故事，故事是什么呢？从前有一座山，山里有一座庵……等等……
我们可以看到，循环嵌套的故事变成了——“老和尚和小和尚在说故事，老尼姑和小尼姑在说故事”。所以，在自身构建中，相同的结构和模式也就变成了——“老和尚和老尼姑一起说对方的故事”。
当然，可想而知，我们可以通过组合的方法，无限复杂化自身构建中的结构和模式——甚至复杂到，让身处在递归中的智能生命体，无法感知到自己身处在递归的结构和模式之中。
第六，递归是可以拥有出口的，也就是说递归可以跳出并终止。
什么意思呢？这就是说，老和尚和小和尚的故事可以一直说下去，此时递归就是没有出口——无限循环嵌套下去的。
但如果老和尚和小和尚某次说的故事，其内容并没有继续说下一个故事——比如老和尚和小和尚在探讨递归的奥秘，不在说自身模式的那个故事——那么，此时递归就结束终止了。于是，这一次的老和尚和小和尚就成为了最后一次的循环——也就是递归的出口。
而同时，递归终止就会开始回溯，从最后一次循环开始逐层返回到上一层，这代表着“故事”的层层回归。
要知道，在递归结束之前，我们并没有任何一个完整的故事，因为每个故事都没有说完，每一个故事都有下一层的老和尚和小和尚在说，但还没说完的故事。
最终，回溯会收敛到最开始，就是第一次老和尚和小和尚在说故事，同时我们也会得到一个最完整的故事，其内容就是第一次循环到最后一次循环之间所有的（相同结构不同内涵的）故事总和。
于是，这个故事就包含了——各种不同的老和尚、小和尚、庙，直到最后老和尚和小和尚在递归终止处探讨递归的奥秘，这些所有的数据。
那么显然，如果递归没有出口，就不会有回溯和收敛，所有的一切都是不完整的，一切都是局部的，数据会散落在结构的各处——存储在上下文之中，结构的模式相同——并形成嵌套，而重复的结构会一直延伸到循环的无限处。
用递归方程求极限
n->∞时，对于任意的ε>0，|Xn+1-Xn|<ε，也就是说Xn+1和Xn极其接近，要多近有多近，可以近似的理解为相等（也就是极限时相等），所以a=(a(3-a))^(1/2).
证明如下：
对于任意的ε>0，当n->∞时，limXn=a，存在XN<3/2+ε*ε/(2*a)<3/2+9/(2*a)，当n>N时，总有|Xn+1-Xn|<ε，所以a=(a(3-a))^(1/2).
坐标有了:
纬度:23.097417822529177
