1.1-1.2 随机现象、概率的概念与性质

第一章随机事件与概率

1.1 随机现象与数据

确定性现象

什么是确定？
- 可重复验证
什么是必然？
- 与预测相一致

随机现象

个别实验结果呈现不确定性，大量重复实验又具有统计规律性的现象
- 随机就是“不确定”？
- 真正的“随机”是什么样的？

概率论 (Theory of Probability)：揭示和研究随机现象的统计规律性的数学学科
统计学 (Statistics)：通过收集、整理、分析数据等手段以达到推断或预测考察对象本质或未来的学科

数理统计为概率论面向实际问题提供联系桥梁
概率论为数理统计方法合理性提供理论保证

1.2 随机事件

随机试验：对随机现象的观测
总体：试验中关心的某个数量指标
个体或样品：总体中的某个具体取值
样本：从总体中独立、重复地取出的若干样品，取出的样品数量称为样本的容量
基本事件（样本点）：试验产生的基本结果，用 $\omega$ 表示
样本空间：全体样本点的集合，用 $\Omega$ 表示
事件：（满足一定条件的）样本点的集合，一般用大写字母 $A,B,C,...$ 表示，若试验结果的样本点属于该集合，则称该事件发生
事件域： $\Omega$ 中全体事件构成的集合，记为
$\mathscr { F } = \{ A | A \subset \Omega\}$
自行了解如下的概念：平均数（平均值）、中位数、众数、方差、标准差、极差、变异系数差

例1：掷一个骰子，观察得到的点数
样本点： $1,2,3,4,5,6$
样本空间： $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$
事件 $A_1$ ：出现的点数不超过 $3$ ，可表示为
$A_1=\{1,2,3\}$
事件 $A_2$ ：出现的点数为偶数，可表示为
$A_2=\{2,4,6\}$
例2：抛两个骰子，观察得到的总点数
样本点： $2,3,4,...,12$
样本空间： $\Omega=\{2,3,4,...,12\}$

例3：抛两个骰子，观察点数的组合
样本点： $(m,n)$ ，其中 $m=1,2,...,6,\,n=1,2,...,6$
样本空间： $\Omega=\{(m,n)|m=1,2,...,6,\,n=1,2,...,6\}$

注意例2和例3虽然都是掷两个骰子，但由于观测的方式不同，所以是不同的（随机）试验！

例4：试验 $E$ ：研究某地一段时间的气温变化情况，连续观察 $3$ 天的日最低气温与最高气温.
$E$ 的样本空间：
$\Omega = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } , T _ { i } \in \mathbb{R} , t _ { i } \leq T _ { i } , i = 1,2,3 \right\}$
事件 $A$ “连续 $3$ 天气温都在 $28 ^ { \circ } \mathrm { C }$ 到 $36 ^ { \circ } \mathrm { C }$ 之间”
$A = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | 28 \leq t _ { i } \leq T _ { i } \leq 36 , i = 1,2,3 \right\}$
事件 $B$ “连续3天最高气温超过 $40 ^ { \circ } \mathrm { C }$ ”
$B = \left\{ \left[ (t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } \leq T _ { i } , T _ { i } > 40 , i = 1,2,3 \}$
有没有其他的方法来表示以上的两个事件？

基本事件：单个样本点构成的事件，也即 $\{\omega\}$
必然事件：每次试验中都会发生的事件，也即 $\Omega$
不可能事件：每次试验中都不会发生的事件，也即 $\Phi$ （空集）
对立事件：事件 $A$ 不发生的事件，记为 $\overline { A }$ ，显然
$\overline { \Omega } = \Phi, \quad \overline { \Phi } = \Omega, \quad \overline{\overline { A }} = A$

事件的关系与运算

$A \subset B \Leftrightarrow A\text{发生则}B\text{必发生}$
$A \cup B = \{ \omega | \omega \in A$ or $\omega \in B \} \Leftrightarrow A,B$ 至少有一个会发生，称为事件 $A,B$ 的和事件
$A \cap B = \{ \omega | \omega \in A$ and $\omega \in B \} \Leftrightarrow A , B$ 同时发生，称为事件 $A,B$ 的积事件
- 有限个事件的积事件和可列个事件的积事件：
  $\begin{array} { l } { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots , n \} } \\ { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots \} } \end{array}$
$A - B = \{ \omega | \omega \in A , \omega \notin B \} \Leftrightarrow A$ 发生但 $B$ 不发生，称为事件 $A,B$ 的差（事件）
- 特别地，若 $A \supset B$ ，则称 $A-B$ 为真差
$A \cap B = \Phi$ ，则称 $A,B$ 互不相容或互斥，也即 $A,B$ 不会同时发生
逆事件（或对立事件）：若
$A \cup B = \Omega\;\text{且}\;A \cap B = \Phi$
或者说
$A = \Omega - B = \overline { B } , \quad B = \Omega - A = \overline { A }$

事件的运算规律

交换律： $A \cup B = B \cup A , \quad A \cap B = B \cap A$
结合律：
$\begin{array} { l } { A \cup ( B \cup C ) = ( A \cup B ) \cup C } \\ { A \cap ( B \cap C ) = ( A \cap B ) \cap C } \end{array}$
分配律：
$\begin{array} { l } { A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) } \\ { A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) } \end{array}$
De Morgan律： $\overline { A \cup B } = \overline { A } \cap \overline { B } , \quad \overline { A \cap B } = \overline { A } \cup \overline { B }$

$\overline{\bigcup _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcap _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k } , \quad \overline{\bigcap _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcup _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k }$

课后思考题：习题一：1，2，3，4，5