二次型归纳Ⅱ

7.28已知对称矩阵 $A,B$ 正定， $A-B$ 也正定，求证： $B^{-1}-A^{-1}$ 正定
提示：同时对角化

7.30已知 $A,B$ 为对称矩阵，求证： $Tr(AB)^2\leq Tr(A^2B^2)$
提示： $Tr(AB-BA)(AB-BA)^T\geq 0$ and $Tr(AB)=Tr(BA)$

7.31设 $A$ 是可逆的实对称 $n$ 阶方阵， $B$ 是实反对称 $n$ 阶方阵，且有 $AB=BA$ ，求证： $A+B$ 可逆。
*提示：法一：可知 $AA^T$ 正定， $BB^T=-B^2$ 半正定，故
$AA^T+BB^T=A^2-B^2$
正定，于是 $(A+B)(A+B)^T=(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ 必正定

法二：反证：否则方程 $(A+B)X=0$ 有非零解，设为 $y$ 那么
$0=y^T(A+B)^T(A+B)y=y^T(A-B)(A+B)y=y^T(A^2-B^2)y>0$

法三：反证：若有非零解 $y$ ，由 $A$ 可逆有 $0=y^TA^T(A+B)y=y^TA^TAy+y^TA^TBy$
而 $(y^TA^TBy)^T=y^TB^TAy=-y^TBAy=-y^TA^TBy$
即 $y^TA^TBy=0$ 从而 $0=y^TA^TAy=(Ay)^T(Ay)$

法四：只需证明 $A^{-1}(A+B)=E+A^{-1}B$ 可逆即可，由 $AB=BA$ 有 $A^{-1}B=B^{-1}A$ 于是
$(A^{-1}B)^T=B^T(A^T)^{-1}=-BA^{-1}=-A^{-1}B$
即 $A^{-1}B$ 是实反对称矩阵，其矩阵特征值为0或纯虚数，从而 $E+A^{-1}B$ 的特征值都不是0

法五：同时对角化*

7.34设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵， $Tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}$ 称为矩阵的迹
(1)证明相似变换下的矩阵迹不变
(2)设 $A,B$ 为对称半正定矩阵，证明 $Tr(AB)\geq 0$
(3)设 $A,B$ 为对称半正定矩阵，且 $Tr(AB)=0$ 则 $AB=0$
提示：半正定矩阵如果对角线元素为0，那么那一行一列元素全为0。

7.41设 $Q$ 为 $n$ 阶对称正定矩阵， $x$ 为 $n$ 维实向量，证明：
$0\leq x^T(Q+xx^T)^{-1}x<1$
提示：法一：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $Q=PP^T,xx^T=Pdiag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^T$ ，令 $P^{-1}x=(y_1,\ldots,y_n)^T$ 可得 $P^{-1}x=(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})^T$
法二：若 $Q=PP^T$ 构造 $\left(\begin{array}{cc} P^T&x\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} P^T&0\\ x^T&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A&x\\ x^T&1\end{array}\right)$
法三：利用下一问

7.42设 $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $u,v\in\mathbb{F}^n$ 是列向量，若 $1+v^TA^{-1}u\not=0$ 则 $A+uv^T$ 可逆，且 $(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$

7.44设 $A,B$ 为可换的 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A,B,A+B$ 都可逆，证明： $(A+B)^{-1}\not=A^{-1}+B^{-1}$
提示：同时对角化

7.45将 $n$ 元实二次型 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|i-j|x_ix_j$ 化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。

7.46设 $n$ 阶对称方阵 $A$ 是正定的，去掉方阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $i$ 列的子矩阵记为 $A_i$ ，记 $Q(x)=xAx^T,x\in\mathbb{R^n}$ 证明 $Q(x)$ 在 $x_i=1$ 条件下的最小值是 $\frac{detA}{detA_i}$ ，其中 $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$
提示：先通过初等变换使得 $PAP^T=\left(\begin{array}{cc} A_i&\beta\\ \beta^T&a_{ii}\end{array}\right)$ 其中 $\beta^T=(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{i,i-1},a_{i,i+1},\ldots,a_{in})$ 则 $xP=(y,x_i)$ 于是 $0\leq Q(x)=(y,x_i)\left(\begin{array}{cc} A_i&\beta\\ \beta^T&a_{ii}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} y^T\\ x_i\end{array}\right)=yA_iy^T+2x_i\beta^Ty^T+a_{ii}x_i^2$ 令 $x_i=1$ 求关于 $y$ 的导数，并令其为0

7.47设 $A$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，已知对任何的 $n\times 1$ 列向量 $X,Y$ , $X^TAY=0$ 的充分必要条件为 $Y^TAX=0$ 证明： $A$ 要么是对称矩阵要么是反对称矩阵
待解决

7.48设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵， $\alpha,\beta$ 是任意的 $n$ 维实列向量，证明： $(\alpha^T\beta)^2\leq (\alpha^TA\alpha)(\beta^TA^{-1}\beta)$
提示：对角化后使用柯西不等式

7.49设 $A,B$ 是实数域上的 $n$ 级方阵，且 $AB+BA=0$ 证明：如果 $A$ 是对称阵且半正定，则有 $AB=BA=0$
提示：法一：对角化
法二： $W=\{Bx|x\in\mathbb{R}^n\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，要证明 $AB=0$ 只需证明 $\forall y\in W,Ay=0$

7.50设 $A=\left(\begin{array}{ccc} 4&2&2\\ 2&4&2\\ 2&2&4\end{array}\right)$ 证明： $A$ 正定，求出所有的实系数多项式 $f(x)$ ，使得 $f(A)$ 正定
提示： $f(x)=(x-2)(x-8)q(x)+\frac{x-2}{8-2}a+\frac{x-8}{2-8}b$ 其中 $q(x)$ 为任意实系数多项式, $a,b$ 为任意正数

7.51正定矩阵 $A$ 非对角线上的元小于等于0，求证 $A^{-1}$ 非对角线上的元素大于等于0.
提示：归纳法

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