实际应用中有很多非线性关系的变量很迷惑人，让人误用（多元）线性回归，这篇文章对比分析了线性回归和人工神经网络对这种变量的拟合，然后介绍下这种误用带来的后果，同时也会加深我们对人工神经网络的理解。
一、多元线性回归（MLR）与人工神经网络（ANN）--有模式
我们用数学上一个人人皆知的例子，矩形面积= 长*宽，假如一个研究人员不知道矩形面积与长和宽的关系，他想以长和宽为输入变量用多元线性回归去拟合矩形面积，然后我们看下结果。
1、数据介绍
本文的数据主要用MATLAB来随机产生，这些数据分为三组，即原始数据、测试数据1和测试数据2，如下图：
1）原始数据为area，length和wide，用来做MLR公式和作为ANN的训练数据, length和wide的数据范围皆为 1-100。
2）测试数据1为test_area, test_length和test_wide，用来带入上面MLR公式和ANN训练函数，检验效果如何。这里的test_length和test_wide的数据范围和上面的一样都在1-100之间。
3）测试数据1为test_area_2, test_length_2和 test_wide_2，同样用来检验效果，只是数据在原始数据范围外，即100-200之间。
2、结果评估
我们用拟合出来的结果与真实值（即test_area和test_area_2）的mean squared error（MSE）和相关系数R^2来评估拟合效果。
3、结果
3.1、得到MLR公式
这里用Excel的数据分析——回归直接得到变量length和wide的系数与截距，R^2看起来还不错0.83。然后我们把测试数据1和测试数据2直接带入即可。
3.2、得到ANN训练函数
采用前馈神经网络，以length，wide为输入，area为target进行训练，隐含层（hidden neurons）用5个，MSE相当低，R^2基本接近1，如下图，然后我们生成函数，待会直接输入测试数据1和测试数据2的长和宽即可。
3.3、测试数据1结果对比
如下图，看总体趋势都还比较好，但MLR的MSE远远大于ANN的，注意这里的MSE没有进行数据标准化计算，所以我们看到虽然MLR的MSE那么大，但是预测结果是可以的；而ANN的拟合结果很明显更好。
3.4、测试数据2结果对比
这里就能看出区别了，虽然MLR的趋势跟真实值差不太多（R^2挺高的），但是误差太大了（MSE要比ANN的拟合结果大3个数量级），相比而言，ANN表现就非常好了，他好像聪明地观察到了面积=长*宽这个规律，因为恰巧我们的输入变量是符合这个规律的，他才有机会学得到，而那个用多元线性回归的研究人员就没那么幸运了。假如我们的输入变量里没有长或者宽会是怎么样呢？还能得到如此好的预测结果吗，看第二部分"线性回归（LR）与ANN--无模式"
二、线性回归（LR）与ANN--无模式
我们同样用数学上类似的数据，只不过这次我们用周长和矩形面积，假如一个研究人员不知道矩形面积与周长关系，他观察周长越大面积就越大，于是以线性拟合去找他们之间的关系，然后我们看下结果。
1、数据介绍
数据分为三组，即原始数据、测试数据1和测试数据2，如下图：
1）原始数据为area和perimeter，用来做LR公式和作为ANN的训练数据, perimeter的数据范围为 4-400（因为是用上面的数据范围皆为 1-100的length和wide产生的）。
2）测试数据1为test_area和 test_perimeter，用来带入上面LR公式和ANN训练函数，检验效果如何。这里的test_perimeter的数据范围和上面的一样在4-400之间。
3）测试数据1为test_area_2和 test_perimeter_2，同样用来检验效果，只是数据在原始数据范围外，即400-800之间（用上面的test_length_2和 test_wide_2产生的）。
2、结果评估
同样用MSE和R^2
3、结果
3.1、得到线性拟合公式
如图，看起来也还不错
3.2、得到ANN训练函数
采用前馈神经网络，以perimeter为输入，area为target进行训练，隐含层（hidden neurons）用5个，训练结果如图，MSE这次挺高了，注意MSE是平方了的（所以标准的ANN做法是先把数据标准化），看下面的残差直方图更直观一些，area的平均值才2400左右，残差最高到了1000多，R^2还不错，然后我们生成函数，待会直接输入测试数据1和测试数据2的周长即可。
3.3、测试数据1结果对比
这个因为测试数据与原始数据的输入在一个范围内，所以看起来都还可以，趋势基本完全吻合，看MSE和R^2，似乎ANN略胜一筹。
3.4、测试数据2结果对比
如图，线性回归（LR）和ANN拟合的都不太好，MSE基本在同一个水平，ANN的略低一些，但是LR的趋势似乎跟真实值更吻合一些。
在这里ANN好像学不到我们用随机数得到的周长跟面积的关系，因为周长跟面积本来就没有什么模式可言，对于没有模式的东西，ANN似乎无能为力，但是他能在力所能及的范围内给你预测，就像上面的测试数据1的结果还是可以的，因为训练的数据与测试的数据范围是一致的，而在数据范围一致的情况下，用LR效果也看似很好。然而我们不要忘了，周长与面积是并没有线性关系的。
三、MLR与ANN--混合输入
紧接着，如果我们不知道面积与长、宽和周长这三者的关系，把这三个变量都输进去，然后再用MLR和ANN的方法，当然因为周长 = （长+宽）*2,所以MLR的方法肯定有一个参数为0。测试数据直接选用原始数据外的，因为我们知道在原始数据范围内的拟合结果肯定都还可以接受，直接看结果，如图，ANN表现良好，MLR还是不行。
同样我们只输入长和周长这两个变量呢，结果是一致的，ANN拟合很好，MLR很差（MLR结果跟上面的一模一样的，因为长、宽和周长三个变量间存在线性关系的）。
