线性神经网络

1.线性回归

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、预测需求（零售销量等）。

1.1 线性回归的基本元素

线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量x和因变量y之间的关系是线性的，即y可以表示为x中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

我们举一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set）。每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用 $n$ 来表示数据集中的样本数。对索引为 $i$ 的样本，其输入表示为 $x^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^T$ ，其对应的标签是 $y^{(i)}$ 。

线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：
$price = w_{area} · area + w_{age} · age + b.$

$w_{area}$ 和 $w_{age}$ 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。 $b$ 称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少*。

该式是输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重 $w$ 和偏置 $b$ ，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含d个特征时，我们将预测结果 $hat{y}$ （通常使用“尖角”符号表示y的估计值）表示为：
$\hat{y} = w_1x_1 + ... + w_dx_d + b.$
将所有特征放到向量 $x ∈ R^d$ 中，并将所有权重放到向量w ∈ Rd中，我们可以用点积形式来简洁地表达模型： $\hat{y} = w^Tx + b.$

向量 $x$ 对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵 $X ∈ R ^{n×d}$ 可以很方便地引用我们整个数据集的 $n$ 个样本。其中， $X$ 的每一行是一个样本，每一列是一种特征。对于特征集合 $X$ ，预测值 $\hat{y} ∈ R^n$ 可以通过矩阵‐向量乘法表示为： $\hat{y} = Xw + b$

这个过程中的求和将使用广播机制。

给定训练数据特征 $X$ 和对应的已知标签 $y$ ，线性回归的目标是找到一组权重向量 $w$ 和偏置 $b$ ：当给定从 $X$ 的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters） $w$ 和 $b$ 之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

损失函数

损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

解析解

线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

随机梯度下降

梯度下降几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量 $B$ ，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数 $η$ ，并从当前参数的值中减掉。我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（ $∂$ 表示偏导数）：

$(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).$

算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

$\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}\end{split}$

$|\mathcal{B}|$ 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 $η$ 表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为 $\hat{w} ,\hat{b}。$ 但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

用模型进行预测

给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

1.2 矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

1.2 正态分布与平方损失

正态分布和线性回归之间的关系很密切。正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）。

若随机变量 $x$ 具有均值 $µ$ 和方差 $σ2$ （标准差 $σ$ ），其正态分布概率密度函数如下：

$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).$

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:
$y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,$
其中， $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ 。

因此，我们现在可以写出通过给定的 $x$ 观测到特定 $y$ 的似然（likelihood）：

$P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).$

现在，根据极大似然估计法，参数 $w$ 和 $b$ 的最优值是使整个数据集的似然最大的值:
$P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).$

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然 $-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)$ 。由此可以得到的数学公式是：
$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.$

在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

2.从线性回归到深度网络

2.1 神经网络图

我们将线性回归模型描述为一个神经网络。输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

线性回归是一个单层神经网络.png

对于线性回归，每个输入都与每个输出相连，我们将这种变换称为全连接层（fully‐connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

3.线性回归的从零开始实现

我们将从零开始实现整个方法，包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器。

3.1 生成数据集

3.2 读取数据集

3.3 初始化模型参数

3.4 定义模型

3.5 定义损失函数

3.6 定义优化算法

3.7 训练

4.线性回归得简洁实现

5.softmax回归

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：

我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；
我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。

5.1 分类问题

假设每次输入是一个2 × 2的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ 。此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one‐hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。

在我们的例子中，标签y将是一个三维向量，其中 $(1, 0, 0)$ 对应于“猫”、 $(0, 1, 0)$ 对应于“鸡”、 $(0, 0, 1)$ 对应于“狗”： $y \in \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}.$

5.2 网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。

在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的 $w$ ），3个标量来表示偏置（带下标的 $b$ ）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测 $（logit）$ ： $o_1$ 、 $o_2$ 和 $o_3$ 。

$\begin{split}\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\ o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\ o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3. \end{aligned}\end{split}$

与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出 $o_1$ 、 $o_2$ 和 $o_3$ 取决于所有输入 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 和 $x_4$ ，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

softmax回归是一种单层神经网络.png

我们仍然使用线性代数符号。通过向量形式表达为 $o = Wx + b$ ，这是一种更适合数学和编写代码的形式。

5.3 全连接层的参数开销

对于任何具有 $d$ 个输入和 $q$ 个输出的全连接层，参数开销为 $\mathcal{O}(dq)$ ，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将d个输入转换为q个输出的成本可以减少到 $\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$ ，其中超参数 $n$ 可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性

5.4 softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出 $\hat{y}_j$ 可以视为属于类 $j$ 的概率，然后选择具有最大输出值的类别 $\operatorname*{argmax}_j y_j$ 作为我们的预测。

例如，如果 $\hat{y}_1$ 、 $\hat{y}_2$ 和 $\hat{y}_3$ 分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。

softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。

我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：
$\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$

softmax运算不会改变未规范化的预测o之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。

5.5 小批量样本的矢量化

5.6 损失函数

P108 交叉熵损失推导

5.7 信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。在信息论中，该数值被称为分布P的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：
$H[P] = \sum_j - P(j) \log P(j).$

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布p中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要 $H[P]$ “纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为 $e$ 而不是2。因此，一个纳特是 $\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44$ 比特。

信息量

如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到“惊异”。克劳德·香农决定用信息量 $\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)$ 来量化这种惊异程度。在观察一个事件 $j$ 时，并赋予它（主观）概率 $P(j)$ 。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。前面定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

重新审视交叉熵

如果把熵 $H(P)$ 想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？交叉熵从 $P$ 到 $Q$ ，记为 $H(P, Q)$ 。我们可以把交叉熵想象为“主观概率为 $Q$ 的观察者在看到根据概率 $P$ 生成的数据时的预期惊异”。当 $P = Q$ 时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从 $P$ 到 $Q$ 的交叉熵是 $H(P, P) = H(P)$ 。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：（i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。

5.8 模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

《动手学深度学习》读书笔记——线性神经网络篇