这周的讨论班是“gauge theory and integrability”这个系列的完结，再次通读一遍，尝试把前后思路和逻辑联系一起，又有了很多新的理解。主要的新内容是 trigonometric deformation 还有 higher-genus Riemann surface情况下的讨论。
General idea
我们的4D gauge field theory是specially designed，4维流形可以分成一个2维流形（最后得到的2维场论的时空也就是底流形，可以成为我们的物理空间）和一个黎曼面的直积，而且虽然是4维场论，其中只有3个components是物理的：在物理空间上是2个分量Ax Ay还有在黎曼面上的一个分量Az。所以Az(x,y,z)定义了一个在黎曼面上的holomorphic G-bundle（其一个section是一个取值在G上的differential form ）。在黎曼面上任意的点的附近，这个G-bundle都有一个trivialization, 也就是写成黎曼面和fiber-G的直积，也就是在那个点上，我们有一个G element g(x,y)，这样很自然的我们就在这个点上得到了一个2维的场g(x,y)取值在群流行G上。我们还有gauge symmetry，而g(x,y)不是guage invaraint，也就不可能是物理的。这里我们可以：1. impose 边界条件要求gauge field在这个点处为0，也就是关掉gauge symmetry。但是还有一个global symmetry。2. 再加入一个点得到g1(x,y)，这样就能用g g1^(-1)构造一个在global symmetry不变的场。这里可以人为的破坏这两个点互换的对称性(为了讨论方便), 把其中一个点设为identity,那么最后我们就在另个点处得到一个group field g(x,y)，最后我们的有效的2维场论就localize在了另外一个点上。
反过来，我们用这个group field g(x,y) 来定义 Az。然后利用Fzx 和 Fzy 方向上的gauge field的运动方程，去尝试确定 另外的2个分量Ax,Ay。如果可以做到这一点，我们就可以把规范场的3个分量，用 group field （还有其在黎曼上的extension）来表示。把他们带入到gauge field的作用量，我们得到了2维有效场的作用量 (黎曼面上的extension的成为了2维场论的拓扑项)。而Fxy对应的equation of motion就对应了Lax equation （Ax Ay的限制）。
所以问题就变为，我们要怎样确定 Ax, 和Ay分量。因为他们可以看出是黎曼面上的半纯函数，所以我们要specify他们的zero（定义disorder operator）还有pole(specify boundary condition), 再有利用equation of motion 把最后的regular的部分定下。
这样 给定黎曼面我们有set of {disorder operators, boundary conditions}=set of {2维可积场论}。
什么样的边界条件是合理的呢？
首先这里的边界对应了黎曼面上定义的1-form的pole。因为pole 的存在，在做variation推导运动方程的时候，这些pole会额外贡献到变分的结果里。要得到好正确的运动方程，这些边界贡献必须为0。这就是我们可以取的边界条件的条件：让边界贡献为0。一般我们取Dirichlet boundary condition。
如果我们去trigonometric boundary condition，就得到了所谓的trigonometric deformation。
trigonometric deformation
因为变分得到的边界贡献可以写成一个在规范对称对应的李代数trace：Tr[A deltaA]，所以如果我们把gauge field A 限制在一个Lagrangian subalgebra (任意两个元素的内积(用Tr定义)都是0)上的话，那么边界条件就自动满足了。为了让限制最小，我们取rank最大的Lagrangian subalgebra。把这个边界条件用到我们上面的general idea里。因为gauge field 不为0了，那么就有一部分的gauge symmetry在边界存留，也就是说 在边界上的guage invariant quantity是 g(x,y)/Langrangian subalgebra ==g(x,y)/ls。我们还要去掉global的gauge symmetry。和之前的想法一样，我们加入另外一个点得到 g1(x,y)/Langrangian subalgebra ==g1(x,y)/ls1。注意这里两个Lagrangian subalgebra ls和ls1可以不一样。我们用global 对称性 把其中一个点上的场设为1。但是因为在那个点上只有一个coset, 我们还会余下一些global symmetry 对应ls。所以最后余下的真正的物理自由度是 g1(x,y)/(ls1 +ls)。如果ls+ls1是整个代数，那么g1(x,y)也是trivial的了。那么，我们就需要至少再引入一个点，但是在这个点上我们只有 g2(x,y)/ls2 作为物理自由度，如果我们想构造一个2维场论定义在群流行上，我们就还需要引入一个点 给出g3(x,y)/ls3，并且 ls2和ls3没有交集。接下来根据general idea的思路，我们就能同样地构造出2维可积场论了。
higher-genus
这里面有两个难点：首先在higher-genus上面的函数，还有differential form都比较复杂，不是我们熟悉的函数（比如在genus-1上是用theta function来表示可以）。在higher-genus 上面的G-bundle 比较复杂，不再是trivial的了。但这些都是数学描述严谨性的麻烦，但是构造场论的general idea是一样的。比如，首先我们要找到对应点2维场论的物理自由度。在g=0的黎曼面的时候，我们要考虑上面的点到群的映射。在higher-genus的时候，要考虑 loop到群的映射。这个可以这样理解，比如我们之前至少要用到2个点。考虑让一个点绕另外的点旋转一圈，似乎我们什么都没有改变，但是我们知道，如果存在non-trvial cycle 的话，绕不同的cycle选择应给得到不同的结果。或者也可以这么理解，这些cycle 可以理解为一些hole的边界，自然我们要考虑这些边界的边界条件。
