DID事件研究的局部投影法(Local Projection)
2018年以来，在面对交叠处理、异质性处理效应、动态处理效应等情形，双向固定效应（TWFE）估计量可能会产生较为严重的偏误（Callaway and Sant’Anna (2021); de Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2021); Sun and Abraham (2021); Goodman-Bacon (2021)），为了减轻这些偏误，学者们已经提出了许多稳健估计量来应对。
最近，Arindrajit Dube、 Daniele Girardi 、O` scar Jorda 、 Alan M. Taylor(2022)从一个新的视角——宏观时间序列脉冲响应和微观动态因果效应的互动，利用局部投影（Local Projection）法来来重塑DID事件研究的估计。
既然已经有了这么多的稳健估计量，为什么要需要另一种方法（局部投影法）呢？
- 首先，局部投影法易于编程和计算，且对于处理组和控制组来说非常透明、灵活；
- 其次，该方法适用于一般的环境，例如，控制处理前结果和其它协变量，且可以应对处理内生性问题；
- 最后，投影法DID（LP-DID）可以作为其它稳健估计量的一般化。
模拟数据表明，与其它稳健估计量相比，LP-DID估计量在交叠处理情形下也非常稳健。例如，处理时间外生时，LP-DID与SA（2021）、CS（2021）估计量差不多，但是计算更简单和快速；如果处理是内生的（依赖于前期的结果变量），LP-DID匹配处理前结果的能力比其它稳健估计量更好。
一、LP-DID概述
LP-DID估计量将常用于估计动态效应的投影方法与“干净控制组”条件结合起来，以避免异质性处理效应带来的固定效应估计量偏误。
优势：易于实施；控制处理前结果变量和其它协变量；恰当地定义处理组和控制组。
（一）估计方程
样本有N个个体，T期，处理变量为二值型虚拟变量，不同的个体在不同的时间接受处理，处理允许反复。假设没有预期效应和平行趋势满足。
LP-DID估计量可以通过两种最小二乘回归方式来实施：
- 施加简单的样本限制；
- 包括一些交互项。
1、样本限制回归
回归方程：
其中，受约束的样本观测值满足下列两个条件之一：
且p是结果变量和协变量的滞后期数，k是估计的动态处理效应期数。其中，参数H决定了定义“干净控制组”的时间窗口。也就是说，要定义一个合意的控制组，那么，它在处理期t前至少有H期没有改变处理状态。
2、交互项回归
回归方程：
其中，“不干净的控制组”指标是一个二值型变量，如果个体i在t期不满足上述“干净控制组”条件则为1，否则为0。
直觉上来说，“干净的控制组”条件排除了具有异质性处理效应的“先处理个体”作为后处理个体的控制组。因此，就排除了“被禁止的比较”的TWFE估计量（de Chaisemartin and D'Haultfoeuille,2022)。
Arindrajit Dube、 Daniele Girardi 、O` scar Jorda 、 Alan M. Taylor(2022)提出LP-DID估计量也可以应用连续型处理变量和多处理情形。
二、应用：银行放松管制对劳动收入份额的影响
20世纪70年代以来，美国各州开始放松州际银行业务和州内银行分支机构管制。Leblebicioglu and Weinberger (2020）估计了州际和州内两项银行管制放松法案对劳动收入份额的影响。结论显示，洲际银行业务对劳动份额有显著负向影响，而州内银行分支机构管制放松则没有显著效应。
数据集覆盖1970-1996年，1997年后，洲际银行业务就被联邦政府全面放开了。
图1 美国放松银行管制的州
1、传统的TWFE模型声明
Leblebicioglu and Weinberger (2020）声明了下列TWFE模型：
其中，LS表示劳动份额，和
表示洲际银行业务方式和州内分支机构放松的虚拟变量。
为了评估处理前趋势，Leblebicioglu and Weinberger (2020）还声明了下列事件研究TWFE模型：
2、交叠DID偏误诊断
de Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2020)、Goodman-Bacon (2021)指出交叠处理情形下，传统的TWFE估计量可能会有严重偏误。下面用培根分解来分解TWFE估计量为：先处理对后处理；后处理对先处理的DID估计量。
图2 培根分解
从上述培根分解图可以看出，放松洲际银行业务管制对劳动份额的TWFE估计量中有63%的权重来自于“先处理vs后处理”这对“干净的对比”，而有36%的权重来自于“后处理vs先处理”这对“不干净的对比”。
而放松州内银行分支机构管制对劳动份额的TWFE估计量的问题更严重：总的估计量中有30%来自于“干净的控制组”，而70%来自于“后处理vs先处理”（其中，47%是样本期内总是处理）。
图3 静态TWFE估计量
图4 TWFE事件研究图
从静态TWFE和TWFE事件研究图均可以看出，放松洲际银行业务会显著降低劳动份额，而放松州内银行分支机构管制则没有显著效应。
3、LP-DID估计量
为了避免TWFE的偏误，允许基于处理前结果动态的匹配，用LP-DID模型来估计放松银行管制对劳动份额的影响：
其中，限制演变观测值为：
图5 放松银行管制的LP-DID事件研究图
在排除了“不干净的控制组”后，LP-DID估计量确认了放松洲际银行业务管制对劳动份额的负向效应，即使控制处理前劳动份额动态，结果依然稳健。但是，州内银行分支机构管制放松后，LP-DID估计量显示，劳动份额也显著下降了。
