DID事件研究的局部投影法(Local Projection)

2018年以来，在面对交叠处理、异质性处理效应、动态处理效应等情形，双向固定效应（TWFE）估计量可能会产生较为严重的偏误（Callaway and Sant’Anna (2021); de Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2021); Sun and Abraham (2021); Goodman-Bacon (2021)），为了减轻这些偏误，学者们已经提出了许多稳健估计量来应对。

最近，Arindrajit Dube、 Daniele Girardi 、O` scar Jorda 、 Alan M. Taylor(2022)从一个新的视角——宏观时间序列脉冲响应和微观动态因果效应的互动，利用局部投影（Local Projection）法来来重塑DID事件研究的估计。

既然已经有了这么多的稳健估计量，为什么要需要另一种方法（局部投影法）呢？

首先，局部投影法易于编程和计算，且对于处理组和控制组来说非常透明、灵活；
其次，该方法适用于一般的环境，例如，控制处理前结果和其它协变量，且可以应对处理内生性问题；
最后，投影法DID（LP-DID）可以作为其它稳健估计量的一般化。

模拟数据表明，与其它稳健估计量相比，LP-DID估计量在交叠处理情形下也非常稳健。例如，处理时间外生时，LP-DID与SA（2021）、CS（2021）估计量差不多，但是计算更简单和快速；如果处理是内生的（依赖于前期的结果变量），LP-DID匹配处理前结果的能力比其它稳健估计量更好。

一、LP-DID概述

LP-DID估计量将常用于估计动态效应的投影方法与“干净控制组”条件结合起来，以避免异质性处理效应带来的固定效应估计量偏误。

优势：易于实施；控制处理前结果变量和其它协变量；恰当地定义处理组和控制组。

（一）估计方程

样本有N个个体，T期，处理变量为二值型虚拟变量，不同的个体在不同的时间接受处理，处理允许反复。假设没有预期效应和平行趋势满足。

LP-DID估计量可以通过两种最小二乘回归方式来实施：

施加简单的样本限制；
包括一些交互项。

1、样本限制回归

回归方程：

$y_{i,t+k}-y_{i,t-1}=\beta^k \Delta D_{it}+\underbrace{\sum_{p=1}^P \gamma_{0,p}^k \Delta y_{i,t-p}}_{结果变量滞后值}+\underbrace{\sum_{m=1}^M \sum_{p=0}^P \gamma_{m,p}^k \Delta x_{m,i,t-p}}_{协变量}+\delta_t^k+e_{it}^k$

其中，受约束的样本观测值满足下列两个条件之一：

$treatment, \Delta D_{it}=1$
$clean control, \Delta D_{it+h}=0 for h=-H,\dots,k$

且p是结果变量和协变量的滞后期数，k是估计的动态处理效应期数。其中，参数H决定了定义“干净控制组”的时间窗口。也就是说，要定义一个合意的控制组，那么，它在处理期t前至少有H期没有改变处理状态。

2、交互项回归

回归方程：

$y_{i,t+k}-y_{i,t-1}=\beta^k \Delta D_{it}+\underbrace{\theta^k UC_{i,t}}_{UC指标}+\underbrace{\sum_{p=1}^P \gamma_{0,p}^k(1+\rho_{0,p}^k UC_{i,t})\Delta y_{i,t-p}}_{滞后期结果变量与UC变量交乘}+\underbrace{\sum_{m=1}^M \sum_{p=0}^P \gamma_{m,p}^k (1+\rho_{m,p}^k UC_{i,t})\Delta x_{m,i,t-p}}_{协变量与UC变量交乘}+\delta_t^k (1+\phi_t^k UC_{i,t})+e_{it}^k$

其中，“不干净的控制组”指标 $UC_{i,t}$ 是一个二值型变量，如果个体i在t期不满足上述“干净控制组”条件则为1，否则为0。

直觉上来说，“干净的控制组”条件排除了具有异质性处理效应的“先处理个体”作为后处理个体的控制组。因此，就排除了“被禁止的比较”的TWFE估计量（de Chaisemartin and D'Haultfoeuille,2022)。

Arindrajit Dube、 Daniele Girardi 、O` scar Jorda 、 Alan M. Taylor(2022)提出LP-DID估计量也可以应用连续型处理变量和多处理情形。

二、应用：银行放松管制对劳动收入份额的影响

20世纪70年代以来，美国各州开始放松州际银行业务和州内银行分支机构管制。Leblebicioglu and Weinberger (2020）估计了州际和州内两项银行管制放松法案对劳动收入份额的影响。结论显示，洲际银行业务对劳动份额有显著负向影响，而州内银行分支机构管制放松则没有显著效应。

数据集覆盖1970-1996年，1997年后，洲际银行业务就被联邦政府全面放开了。

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图1 美国放松银行管制的州

1、传统的TWFE模型声明

Leblebicioglu and Weinberger (2020）声明了下列TWFE模型：

$LS_{st}=\beta_{bank} Bank_{st}+\beta_{branch} Branch_{st}+\eta X_{st}+\alpha_s +\alpha_t+\epsilon_{st}$

其中，LS表示劳动份额， $Bank_{st}$ 和 $Branch_{st}$ 表示洲际银行业务方式和州内分支机构放松的虚拟变量。

为了评估处理前趋势，Leblebicioglu and Weinberger (2020）还声明了下列事件研究TWFE模型：

$LS_{st}=\sum_{q=-9}^9\beta_{bank,t+q} Bank_{st+q}+\sum_{q=-9}^9\beta_{branch,t+q} Branch_{st+q}+\eta X_{st}+\alpha_s +\alpha_t+\epsilon_{st}$

2、交叠DID偏误诊断

de Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2020)、Goodman-Bacon (2021)指出交叠处理情形下，传统的TWFE估计量可能会有严重偏误。下面用培根分解来分解TWFE估计量为：先处理对后处理；后处理对先处理的DID估计量。

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图2 培根分解

从上述培根分解图可以看出，放松洲际银行业务管制对劳动份额的TWFE估计量中有63%的权重来自于“先处理vs后处理”这对“干净的对比”，而有36%的权重来自于“后处理vs先处理”这对“不干净的对比”。

而放松州内银行分支机构管制对劳动份额的TWFE估计量的问题更严重：总的估计量中有30%来自于“干净的控制组”，而70%来自于“后处理vs先处理”（其中，47%是样本期内总是处理）。

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图3 静态TWFE估计量

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图4 TWFE事件研究图

从静态TWFE和TWFE事件研究图均可以看出，放松洲际银行业务会显著降低劳动份额，而放松州内银行分支机构管制则没有显著效应。

3、LP-DID估计量

为了避免TWFE的偏误，允许基于处理前结果动态的匹配，用LP-DID模型来估计放松银行管制对劳动份额的影响：

$LS_{s,t+k}-LS_{s,t-1}=\alpha_t+\beta_k^{LP-DID} \Delta Bank_{sk}+\sum_{m-1}^M \gamma_m^k \Delta LS_{s,t-m}+\sum_{m=1}^M \eta_m^k X_{s,t-m}+e_{s,t+k}$