固物入门1-晶体结构

——固体可分为晶体和非晶体，这里讨论的是晶体。不同晶体由于组成的原子和结构不同，有不同的性质，但是不同晶体却也有一定的共性。

如：周期性、方向性、对称性。

一、周期性

人们为了便于研究，把一个个基元（每个基元都是等价的）画成一个个格点，用以反映晶格的周期性，把这些全部点叫做布拉维点阵。

布拉维点阵中，最小的体积重复单元叫做原胞，通过研究原胞就可以反映出整个晶体的性质，有时候会选择所谓晶胞作为一个重复单元作为研究对象。原胞只含一个格点，晶胞有不少于一个格点。

二、方向性

晶体方向性的特点在于晶体具有各向异性，如双折射晶体。要研究方向性首先确定坐标系。不选坐标系谈方向就是耍流氓。

1. 原胞坐标系与晶胞坐标系

原胞基矢：以一个格点为原点向最近的格点引出的三个向量（通常不正交）。原胞基矢的线性组合可以表示出所有格点的位置。用 $\textbf{a}_1,\textbf{a}_2,\textbf{a}_3$ 表示。

晶胞基矢：人为规定的三个常用的基矢。用 $\textbf{a}，\textbf{b}，\textbf{c}$ 表示。

2. 格矢、位矢和晶列

格矢：选定坐标系后，可以用三个坐标表示格点位置。（这三个坐标应该为正整数）

位矢：用于表示基元中不同原子的相对位置。

晶列：晶体中两个格点确定一个方向。用该方向上两个相邻格点的格矢差来表示这个方向，作为这个方向的单位向量。而且这个格矢差的三个坐标为互质的整数，记为 $[l_1l_2l_3]$ ，称为晶列指数。如果采用晶胞坐标系，这个格矢差坐标记为 $[mnp]$ 。

3.晶面

选择一个晶面后，跟它平行的众多晶面都跟它是等价的，它们有共同的晶面法线。那我们可以选晶面法线的方向余弦来表示方向 $(\cos(\textbf{a}_1,\textbf{n}),\cos(\textbf{a}_2,\textbf{n}),\cos(\textbf{a}_3,\textbf{n}))$ ，但这种方式可能比较复杂。我们可以利用三个点确定一个面，那么可以选距离原点最近晶面的三个截距来表示， $(\frac{1}{r}\frac{1}{s}\frac{1}{t})$ （这是由于截距 $r,s,t$ 的倒数表示基矢被晶面分割的为多少段，而且这三个数是互质的整数），记为 $(h_1,h_2,h_3)$ 。

在晶胞坐标系中，用 $(hkl)$ 表示，然后叫做密勒指数。

在这里可以看出，晶面指数数值越大，表示把基矢分割得越多，那么面就越密（间距小）。那么面与面相互作用力比较强，比较难剥开，因此解理面通常是指数小的。另外，间距大意味着面上格点密集，那么散射作用强，所以散射常用解理面。

三、对称性

晶体由于其周期性、对称性的要求，只能有有限种结构。有14种布拉维格子，7大晶系。

1. 正交变换

（一种保持长度和夹角的线性变换，研究正交变换的不变性是由于数学上的坐标变换不影响物理上的性质这个要求！）

绕轴转动（n）：坐标轴的旋转（这里的旋转是选定旋转轴在面上的旋转）。由晶体的对称性，要保持旋转后晶体不变，旋转角只能是 $\frac{2\pi}{n},n=1,2,3,4,6$ ，及其它的整数倍。n为几，就说你选的这个轴是n度旋转对称轴。

中心反演（i）：关于对称中心的反演。该点称为对称中心。

镜面对称（m）：关于某个面镜像反演。该面称为对称面。

在晶体中由以上三种正交变换可以组成8种基本对称操作 $1,2,3,4,6,i,m, \ \bar{4}$ 由这8种基本对称操作的组合可以形成32个点群（如 $O_h$ 点群，有48个对称操作）。

四、倒格子与X光衍射

我们知道二维光栅变换到频域空间时，跟入射光相互作用时，出射光频谱就是入射光频谱卷积光栅频谱。在频域空间讨论与光场相互作用有很大方便，自然考虑三维晶体（三维光栅）的频谱是什么样的？跟光场相互作用的形式是什么样的？

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1. 倒格子（原胞坐标系）

把布拉维格子称为正格子，它的傅里叶变换称为倒格子。正格子和倒格子互为倒格子。

1.1 倒格基矢的定义（基矢的傅里叶变换）

$\textbf{b}_1=\frac{2\pi[\textbf{a}_2×\textbf{a}_3]}{\Omega }$ , $\textbf{b}_2=\frac{2\pi[\textbf{a}_3×\textbf{a}_1]}{\Omega }$ , $\textbf{b}_3=\frac{2\pi[\textbf{a}_1×\textbf{a}_2]}{\Omega }$ （ $\Omega =\textbf{a}_1\cdot \textbf{a}_2×\textbf{a}_3$ ）

逆傅里叶变换

$\textbf{a}_1=\frac{2\pi[\textbf{b}_2×\textbf{b}_3]}{\Omega }$ , $\textbf{a}_2=\frac{2\pi[\textbf{b}_3×\textbf{b}_1]}{\Omega }$ , $\textbf{a}_3=\frac{2\pi[\textbf{b}_1×\textbf{b}_2]}{\Omega }$

满足：

$\textbf{a}_i\cdot \textbf{b}_j=2\pi\delta _{ij} \ \ \ \ \ \ i,j=1,2,3$ （类比于坐标动量空间的不确定度关系）

倒格空间长度对应相乘是 $2\pi$ ,原胞体积相乘是 $(2\pi)^3$ 。

1.2 倒格矢：

$\textbf{K}=l_1^\prime\textbf{b}_1+l_2^\prime\textbf{b}_2+l_3^\prime\textbf{b}_3$

（其中 $l_1^\prime,l_2^\prime,l_3^\prime$ 为整数，类比于正格矢 $\textbf{R}=l_1\textbf{a}_1+l_2\textbf{a}_2+l_3\textbf{a}_3$ ）

满足：

$\textbf{R}\cdot \textbf{K}=2\pi\mu$ （其中 $\mu =l_1l_1^\prime+l_2l_2^\prime+l_3l_3^\prime$ ）

倒格矢跟对应晶面正交：

$\textbf{K}=h_1\textbf{b}_1+h_2\textbf{b}_2+h_3\textbf{b}_3$ 是晶面指数 $(h_1h_2h_3)$ 的法线

倒格矢的模跟晶面间距的关系：（用倒格矢来描述晶面间距说明面指数越大，晶面间距越小，与之前分析一致）

$d_{h_1h_2h_3}=\frac{2\pi}{|\textbf{K}|}$ ，其中 $|\textbf{K}|=h_1\textbf{b}_1+h_2\textbf{b}_2+h_3\textbf{b}_3$

2. X射线衍射（原胞坐标系）：

衍射极大需满足：

$\textbf{R}\cdot \Delta \textbf{k}=2\pi\mu$ ，（ $\textbf{R}$ 为入射点的格矢， $\Delta \textbf{k}$ 为入射光和出射光波矢差， $\mu$ 为整数）

可见，无论入射点在哪里，只要入射光和出射光波矢差为一个倒格矢，那么就可以跟原点达到干涉增强的效果。

那么，当出射波矢恰好沿着某个晶面的反射方向，此时波矢差恰好垂直于该晶面 $(h_1h_2h_3)$ （忽略康普顿效应），若波矢差的大小恰好是该晶面对应倒格矢大小的整数倍，那么此时达到干涉增强，满足：

$2d_{h_1h_2h_3}\sin\theta =n\lambda$ （对于固定的入射光，需要特定的一组晶面和入射角度才能满足干涉增强，这条件还是相当苛刻的）

1* 倒格子（晶胞坐标系）

讨论晶胞坐标系基矢的那些满足正交关系的，正倒格基矢关系变得比较简单

$\textbf{a}^*=\frac{2\pi}{a}\textbf{i}$ , $\textbf{b}^*=\frac{2\pi}{b}\textbf{j}$ , $\textbf{c}^*=\frac{2\pi}{c}\textbf{k}$ （其中 $\textbf{i},\textbf{j},\textbf{k}$ 分别是正格基矢 $\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}$ 的单位向量）

$\textbf{a}=\frac{2\pi}{a^*}\textbf{i}^*$ , $\textbf{b}=\frac{2\pi}{b^*}\textbf{j}^*$ , $\textbf{c}=\frac{2\pi}{c^*}\textbf{k}^*$ （其中 $\textbf{i}^*,\textbf{j}^*,\textbf{k}^*$ 分别是倒格基矢 $\textbf{a}^*,\textbf{b}^*,\textbf{c}^*$ 的单位向量）

满足：

$\textbf{a}\cdot \textbf{a}^*=2\pi$ ，以此类推

倒格矢：

$\textbf{K}_{hkl}=l_1^{\prime}\textbf{a}^*+l_2^{\prime}\textbf{b}^*+l_3^{\prime}\textbf{c}^*$ （正格矢 $\textbf{R}_{hkl}=l_1\textbf{a}+l_2\textbf{b}+l_3\textbf{c}$ ）

满足：

$\textbf{R}_{hkl}\cdot \textbf{K}_{hkl}=2\pi\mu$ （ $\mu =l_1l_1^\prime+l_2l_2^\prime+l_3l_3^\prime$ ）

倒格矢的模与晶面间距关系：

$d_{hkl}=\frac{2\pi}{|\textbf{K}_{hkl}|}$ （ $|\textbf{K}_{hkl}|=h\textbf{a}^*+k\textbf{b}^*+l\textbf{c}^*$ ）

2* X射线衍射（晶胞坐标系）

$2d_{hkl}\sin\theta^\prime =n^\prime\lambda$

3* 两个坐标系的布拉格反射条件关系

$2d_{h_1h_2h_3}\sin\theta =n\lambda$

$2d_{hkl}\sin\theta =n^\prime\lambda$

讨论当满足衍射极大时它们的关系。此时的入射波长 $\lambda$ ，入射角 $\theta$ 以及入射晶面都确定了，那么可以推断出晶面间距 $d$ 和数值 $n$ 。对于两种坐标系，不同之处在于 $d$ ，导致有不同的 $n$ 。研究同一个晶面族在两个坐标系里的面间距的关系就可以得知 $n$ 的关系。

对于体心立方可以推出（P25）：

$d_{h_1h_2h_3}=d_{hkl}$ 或 $d_{h_1h_2h_3}=d_{hkl}/2$ （就是体心立方结构，晶胞坐标系的晶面间距有时候是原胞间距的两倍，有时候是一样的）

可以得出：

$n=n^\prime$ 或 $n=n^\prime/2$ （对于后者，在晶胞坐标系满足干涉相涨，但是在原胞坐标系是干涉相消，这是因为此时面间距不是真正的面间距 $d_{h_1h_2h_3}$ ）

五、思考题

1. 如何从原胞基矢判断出晶格类型？（P33 3）

2. 证明晶面指数h1h2h3互质。（假设不互质，推出原来设定的基矢不是基矢）

最后编辑于：2021.04.15 09:17:39

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