2019-10-19-突然觉得自己看懂了，一元随机变量函数的密度函数问题

这样的话， $Y=g(X)$ 的分布函数知道了, $F_Y(y)=P(Y \le y)=P(X\le h(y))=\int_{\propto}^{h(y)}p_{X}(x)dx\\$ 求Y的密度函数就是一件很简单的事了。

如果 $g(x)$ 是个严格单调函数，有下面的公式可以用。如果 $g(x)$ 不是严格单调函数，有上面的定理可以用。

g(x)

是单调函数时，注意绝对值符号的应用

正态分布应用的太多了，单独拿出来强调一下

小例子1：

$X\sim N(\mu,\sigma^2 )$ ,求 $Y=3X+5$ 的分布函数，密度函数。

显然，Y也是正态分布，它的期望是 $E(Y)=E(3X+5)=3E(X)+5=3\times 10+5\\$ 它的方差是： $Var(Y)=Var(3X+5)=3^2Var(X)+Var(5)=9\times 4+0=36\\$ 从而 $Y\sim N(35,36)$ ,其分布函数和密度函数也就可以写出来了。

$N(\mu,\sigma)$ 的密度函数是： $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{|x-\mu|^2}{2\sigma^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 分布函数 $F(x)=\int_{-\propto }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{|x-\mu|^2}{2\sigma^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 从而 $N(35,36)$ 的密度函数是 $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }36}e^{-\frac{|x-35|^2}{236^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 分布函数是 $F(x)=\int_{-\propto }^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi }36}e^{-\frac{|x-35|^2}{236^2}},x\in (-\propto,\propto)\\$ 一般来说，线性函数、指数函数和对数函数都是单调函数，可以应用这个定理快速得到分布函数和密度函数。至于其他函数，如二次函数，就得特例分析了。

小例子2

因为随机变量函数 $Y=|X|$ 不是单调函数，所以不能够直接应用定理来做。需要先求 $Y$ 的分布函数，在根据密度函数与分布函数的关系求得相应的密度函数 $p_{Y}(y)$ .

密度函数与分布函数的关系在密度函数的定义中已经给出来了。 $F(x)$ 是变上限的定积分，它是以上限 $x$ 为自变量的函数。因为 $p(x)$ 区间 $I$ 上可积，从而 $F(x)$ 在区间 $I$ 上连续。如果 $p(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么 $F(x)$ 在区间 $I$ 上可导。这就是上面解题过程中某一步的理论支撑，正态分布的密度函数在实数集 $R$ 上是连续的。