TensorFlow中的Linear Regression
线性回归是机器学习中非常简单的问题，我们用tensorflow实现一个小例子。
问题: 希望能够找到一个城市中纵火案和盗窃案之间的关系，纵火案的数量是X，盗窃案的数量是Y，我们建设存在如下线性关系，Y = wX + b。
TensorFlow实现
首先定义输入X和目标Y的占位符(placeholder)
X = tf.placeholder(tf.float32, shape=[], name='input')
Y = tf.placeholder(tf.float32, shape=[], name='label')
里面shape=[]表示标量(scalar)
然后定义需要更新和学习的参数w和b
w = tf.get_variable(
'weight', shape=[], initializer=tf.truncated_normal_initializer())
b = tf.get_variable('bias', shape=[], initializer=tf.zeros_initializer())
接着定义好模型的输出以及误差函数，这里使用均方误差(Y - Y_predicted)^2
Y_predicted = w * X + b
loss = tf.square(Y - Y_predicted, name='loss')
然后定义好优化函数，这里使用最简单的梯度下降，这里的学习率不仅可以是常量，还可以是一个tensor
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=1e-3).minimize(loss)
tensorflow是如何判断哪些参数该更新，哪些参数不更新呢？tf.Variabel(trainable=False)就表示不对该参数进行更新，默认下tf.Variable(trainable=True)。
然后在session中做运算
init = tf.global_variables_initializer()
with tf.Session() as sess:
writer = tf.summary.FileWriter('./linear_log', graph=sess.graph)
sess.run(init)
for i in range(100):
total_loss = 0
for x, y in data:
_, l = sess.run([optimizer, h_loss], feed_dict={X: x, Y: y})
total_loss += l
print("Epoch {0}: {1}".format(i, total_loss / n_samples))
可视化
我们可以打开tensorboard查看我们的结构图如下
最后我们将数据点和预测的直线画出来
如何改善模型
我们可以增加维度，原始模型是Y = Xw + b，我们可以提升一维，使其变成Y = X^2 w1 + X w2 + b
可以换一种loss的计算方式，比如huber loss，当误差比较小的时候使用均方误差，误差比较大的时候使用绝对值误差
在实现huber loss的时候，因为tf是以图的形式来定义，所以不能使用逻辑语句，比如if等，我们可以使用TensorFlow中的条件判断语句，比如tf.where、tf.case等等，huber loss的实现方法如下
def huber_loss(labels, predictions, delta=1.0):
residual = tf.abs(predictions - labels)
condition = tf.less(residual, delta)
small_res = 0.5 * residual**2
large_res = delta * residual - 0.5 * delta**2
return tf.where(condition, small_res, large_res)
关于Optimizer
TensorFlow会自动求导，然后更新参数，使用一行代码tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=1e-3).minimize(loss)，下面我们将其细分开来，讲一讲每一步。
自动梯度
首先优化函数的定义就是前面一部分opt = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate)，定义好优化函数之后，可以通过grads_and_vars = opt.compute_gradients(loss, <list of variables>)来计算loss对于一个变量列表里面每一个变量的梯度，得到的grads_and_vars是一个list of tuples，list中的每个tuple都是由(gradient, variable)构成的，我们可以通过get_grads_and_vars = [(gv[0], gv[1]) for gv in grads_and_vars]将其分别取出来，然后通过opt.apply_gradients(get_grads_and_vars)来更新里面的参数，下面我们举一个小例子。
import tensorflow as tf
x = tf.Variable(5, dtype=tf.float32)
y = tf.Variable(3, dtype=tf.float32)
z = x**2 + x * y + 3
sess = tf.Session()
# initialize variable
sess.run(tf.global_variables_initializer())
# define optimizer
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.1)
# compute gradient z w.r.t x and y
grads_and_vars = optimizer.compute_gradients(z, [x, y])
# fetch the variable
get_grads_and_vars = [(gv[0], gv[1]) for gv in grads_and_vars]
# dz/dx = 2*x + y= 13
# dz/dy = x = 5
print('grads and variables')
print('x: grad {}, value {}'.format(
sess.run(get_grads_and_vars[0][0]), sess.run(get_grads_and_vars[0][1])))
print('y: grad {}, value {}'.format(
sess.run(get_grads_and_vars[1][0]), sess.run(get_grads_and_vars[1][1])))
print('Before optimization')
print('x: {}, y: {}'.format(sess.run(x), sess.run(y)))
# optimize parameters
opt = optimizer.apply_gradients(get_grads_and_vars)
# x = x - 0.1 * dz/dx = 5 - 0.1 * 13 = 3.7
# y = y - 0.1 * dz/dy = 3 - 0.1 * 5 = 2.5
print('After optimization using learning rate 0.1')
sess.run(opt)
print('x: {:.3f}, y: {:.3f}'.format(sess.run(x), sess.run(y)))
sess.close()
上面程序的注释已经解释了所有的内容，就不细讲了，最后可以得到下面的结果。
在实际中，我们当然不用手动更新参数，optimizer类可以帮我们自动更新，另外还有一个函数也能够计算梯度。
tf.gradients(ys, xs, grad_ys=None, name='gradients', colocate_gradients_with_ops=False, gate_gradients=False,
aggregation_method=None)
这个函数会返回list，list的长度就是xs的长度，list中每个元素都是$sum_{ys}(dys/dx)$。
实际运用： 这个方法对于只训练部分网络非常有用，我们能够使用上面的函数只对网络中一部分参数求梯度，然后对他们进行梯度的更新。
优化函数类型
随机梯度下降(GradientDescentOptimizer)仅仅只是tensorflow中一个小的更新方法，下面是tensorflow目前支持的更新方法的总结
tf.train.GradientDescentOptimizer
tf.train.AdadeltaOptimizer
tf.train.AdagradOptimizer
tf.train.AdagradDAOptimizer
tf.train.MomentumOptimizer
tf.train.AdamOptimizer
tf.train.FtrlOptimizer
tf.train.ProximalGradientDescentOptimizer
tf.train.ProximalAdagradOptimizer
tf.train.RMSPropOptimizer
这个博客对上面的方法都做了介绍，感兴趣的同学可以去看看，另外cs231n和coursera的神经网络课程也对各种优化算法做了介绍。
TensorFlow 中的Logistic Regression
我们使用简单的logistic regression来解决分类问题，使用MNIST手写字体，我们的模型公式如下
$$
logits = X * w + b
$$
$$
Y_{predicted} = softmax(logits)
$$
$$
loss = CrossEntropy(Y, Y_{predicted})
$$
TensorFlow实现
TF Learn中内置了一个脚本可以读取MNIST数据集
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets('./data/mnist', one_hot=True)
接着定义占位符(placeholder)和权重参数
x = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 784], name='image')
y = tf.placeholder(tf.int32, shape=[None, 10], name='label')
w = tf.get_variable(
'weight', shape=[784, 10], initializer=tf.truncated_normal_initializer())
b = tf.get_variable('bias', shape=[10], initializer=tf.zeros_initializer())
输入数据的shape=[None, 784]表示第一维接受任何长度的输入，第二维等于784是因为28x28=784。权重w使用均值为0,方差为1的正态分布，偏置b初始化为0。
然后定义预测结果、loss和优化函数
logits = tf.matmul(x, w) + b
entropy = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y, logits=logits)
loss = tf.reduce_mean(entropy, axis=0)
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(loss)
使用tf.matmul做矩阵乘法，然后使用分类问题的loss函数交叉熵，最后将一个batch中的loss求均值，对其使用随机梯度下降法。
因为数据集中有测试集，所以可以在测试集上验证其准确率
preds = tf.nn.softmax(logits)
correct_preds = tf.equal(tf.argmax(preds, 1), tf.argmax(y, 1))
accuracy = tf.reduce_sum(tf.cast(correct_preds, tf.float32), axis=0)
首先对输出结果进行softmax得到概率分布，然后使用tf.argmax得到预测的label，使用tf.equal得到预测的label和实际的label相同的个数，这是一个长为batch的0-1向量，然后使用tf.reduce_sum得到正确的总数。
最后在session中运算，这个过程就不再赘述。
结果与可视化
最后可以得到训练集的loss的验证集准确率如下
可以发现经过10 epochs，验证集能够实现74%的准确率。同时，我们还能够得到tensorboard可视化如下。
这看着是有点混乱的，所以下一次课会讲一下如何结构化我们的模型。
本文的全部代码都在github
欢迎访问我的博客
欢迎查看我的知乎专栏，深度炼丹
