第六次作业

陇溪首逸IP属地: 湖北
字数 847阅读 388

本次计算物理为物理摆的混沌,选择了课本习题第3.10题,并有一些拓展


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迭代公式:

之后的所有绘图步长皆为dt=0.04s

一,几个典型值下theta和omega的变化图:

1,无阻尼和驱动时theta与omega的变化:


2,有阻尼而无驱动时theta与omega的变化:

3,有阻尼有驱动时theta与omega的变化:

Fd=0.2时:

Fd=1.2时:

二,绘出几个不同值下thetaomega变化图:

1,几个不同的驱动力下,theta随时间的变化,进行了1000步运算:

因为将theta限制在-Pi到Pi范围内的原因,使得theta的图像发生了突变

取消theta的角度限制后,绘图有:

2,几个不同的驱动力下,omega随时间的变化:

3,几个不同的驱动力下,omegatheta的变化:

theta限制在-Pi到Pi范围内时:

取消theta限制有:

可见因为theta超出范围而直接将其值消减或增加到要求的范围内,使得theta值发生突变,进而使theta-omega图也发生突变而不连续光滑,取消了theta取值的限制之后,theta-omega图变得连续光滑。

三,绘出Fd=1.2下theta-omega图,探究混沌效应:

1,1000步运算(dt仍为0.04s,theta初始值0.2弧度):

2,6000步运算:

3,10000步运算:

为更明显地探究和显示混沌效应,之后的绘图减少线条数

初始theta分别取0.2和0.3时的theta-omega图:

10000步迭代

初始theta分别取0.2和0.21时的theta-omega图(3000步迭代):

可以看到此时虽然初始值差别不大甚至差别很小,但当迭代发展到一定程度,二者的theta-omega图已经完全没有相似可言,混沌效应已明显可见。上面两图均为将theta限制。

初始theta分别取0.2和0.21时的theta-omega图(3000步迭代),对theta限制之后有:

单独绘出theta=0.2的theta-omega图

为使结论更明显,现选取theta=0.200和0.201绘图:

未限制纠正theta范围(7000步迭代)
限制并纠正theta范围(3000步迭代)

此时可见初值改变极小的情况下,引起后期演化的巨大差异,由图可见,迭代步数的前期二者差异不大,但积累发展到一定程度,二者走向了完全不同的演化路径,即为明显的混沌效应。

四,总结

由以上绘图明显可观察到混沌效应的存在,在其它初始条件保持为相同的条件下,仅仅对初始释放角度theta的值做一个微小的扰动,物理摆系统的后期行为就发生了非常大的改变,甚至可以说是发生了完全不同的演化,可见混沌效应在此系统中的明显存在,也告诉我们对于一个有混沌效应的系统,初值的准确选取对于结果的影响非常大,应该谨慎操作。

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