维数·基与坐标
线性组合
定义：设V是数域P上的一个线性空间,)
是V中一组向量,
是数域P中的数,则向量
称为向量组
的一个线性组合,此时也称向量
可用向量组线性表出
等价
设,
是V中两个向量组,若前者每个向量都可用后者线性表出,则称前者可用后者线性表出,若两向量组可互相线性表出,则称它们等价
线性相关
对线性空间V中向量,若在数域P中有r个不全为零的数使
,则称线性相关,若不线性相关,则称为线性无关,即仅在
时成立
常用结论
1.单个向量线性相关
2.两个以上的向量线性相关
其中有一个向量是其余向量的线性组合
3.若向量组线性无关,且可被线性表出,则
4.两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量
5.若向量组线性无关,向量组
线性相关,则
可被线性表出,且表示法唯一
维数
定义：若在线性空间V中有n个线性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量,则V称为n维的,若在V中可以找到任意多个线性无关的向量,则V称为无限维的
例：
1.几何空间中向量所成的线性空间是3维的
2.n元数组所成的线性空间是n维的
3.所有实系数多项式所成的线性空间是无限维的
(
,有n个线性无关的向量
)
注：无限维空间与有限维空间有较大差别,但线性表出、线性相关、线性无关等性质,只要不涉及维数和基,则都成立
基
定义：在n维线性空间V中,n个线性无关的向量
称为V的一组基,设是V中任一向量,则
线性相关,故可被线性表出,
,其中系数
被向量和基唯一确定,这组数称为在基下的坐标,记作)
定理：若在线性空间V中有n个线性无关的向量
,且V中任一向量都可用它们线性表出,则V是n维的,就是V的一组基
证明：
例：在线性空间![P[x]_n](https://math.jianshu.com/math?formula=P%5Bx%5D_n)
中,
是n个线性无关的向量,且每个次数小于n的数域P上的多项式都可被它们线性表出,故是n维的,而即为它的一组基,在这组基下,多项式%3Da_0%2Ba_1x%2B%5Ccdots%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D)
的坐标即为它的系数)
若在V中取另一组基%5E%7Bn-1%7D)
,则按照泰勒展开公式%3Df(a)%2Bf'(a)(x-a)%2B%5Ccdots%2B%7Bf%5E%7Bn-1%7D%5Cover%20(n-1)!%7D(x-a)%5E%7Bn-1%7D)
,故f(x)在基
下的坐标为%2Cf'(a)%2C%5Ccdots%2C%7Bf%5E%7B(n-1)%7D(a)%5Cover%20(n-1)!%7D))
例：在n维空间
中,显然%5C%5C%20%5Cvarepsilon_2%3D(0%2C1%2C%5Ccdots%2C0)%5C%5C%20%5Ccdots%5C%5C%20%5Cvarepsilon_n%3D(0%2C0%2C%5Ccdots%2C1)%5Cend%7Bcases%7D)
是一组基,对每一向量)
都有
,故为向量在这组基下的坐标
%5C%5C%20%5Cvarepsilon'_2%3D(0%2C1%2C%5Ccdots%2C1)%5C%5C%20%5Ccdots%5C%5C%20%5Cvarepsilon'_n%3D(0%2C0%2C%5Ccdots%2C1)%5Cend%7Bcases%7D)
也为的一组基,在这组基下,对向量有%5Cvarepsilon'_2%2B%5Ccdots%2B(a_n-a_%7Bn-1%7D)%5Cvarepsilon'_n)
,故在这组基下的坐标为)
例：将复数域K看作自身上的线性空间,则它是一维的,数1即为一组基,若看作是实数域上的线性空间,则它是二维的,数1与i即为一组基
注：维数与所考虑的数域有关
