第24课马尔可夫矩阵，傅立叶级数

主旨：特征值的应用

马尔可夫矩阵，两条性质：

每个元素大于等于0
每列相加值为1

要点：

$\lambda=1$ 为特征值
其它所有特征值绝对值小于1

$u_k=A^Ku_0=c_1\lambda_1^kx_1+\underbrace{c_2\lambda_2^kx_2}_{趋向于0}\\ \lambda_1=1;\lambda_2<1\\ \to u_k=\underbrace{c_1x_1}_{稳态}$

如何证明每列之和等于1，意味 $\lambda=1$ 为特征值
$A=\begin{bmatrix}0.1&0.01&0.3\\0.2&0.99&0.3\\0.7&0&0.4\end{bmatrix}\\ (A-\lambda I)\underbrace{=}_{\lambda=1}(A-I) = \overbrace{ \underbrace{ \begin{bmatrix} -0.9&0.01&0.3\\ 0.2&-0.01&0.3\\ 0.7&0&-0.6 \end{bmatrix} }_{线性相关行列式为0} }^{奇异，每列相加得0，三列线性相关}$
已知每列和为0，怎么说明那列向量线性相关？

因为向量 $(1,1,1)$ ，它不在矩阵的零空间，但在其转置的零空间中 $N(A^T)$ ，对于方程，行向量线性关，就说明矩阵奇异。行向量的 $(1,1,1)$ 组合

矩阵本身的零空间列向量的什么组合得到零向量（即零空间）？

$A$ 和 $A$ 转置的特征值有什么关系？

它们的特征值一样，矩阵的行列式与其转置的行列式相等
$det(A-\lambda I)=0 \to det(A^T-\lambda I)=0$
特征值相等特征向量不同，左零空间不等于零空间

例：一个人口迁移过程从 $m$ 到 $c$

$A$ 是马尔科夫矩阵

设：
$\underbrace{\begin{bmatrix}U_c\\U_m\end{bmatrix}_0}_{0状态} = \begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}$
$k$ 步后，人数怎样变化 $U_c+U_k=1000$

经过一次调整发生的变化
$\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U_c\\U_m\end{bmatrix}_0 = \begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}200\\800\end{bmatrix}$
再进行一次， $U_c$ 会大于200， $U_m$ 会少于800，加起来还是1000，解任意多次就需要用特征值，特征向量
$A=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix};\lambda_1=1;\lambda_2=0.7\\ \lambda_1 代入 \to A-\lambda_1I = \begin{bmatrix}0.9-1&0.2\\0.1&0.8-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}-0.1&0.2\\0.1&-0.2\end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}_{x_1}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\\ \lambda_2代入 \to A-\lambda_2I = \begin{bmatrix}0.9-0.7&0.2\\0.1&0.8-0.7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}0.2&0.2\\0.1&0.1\end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}_{x_2}= \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\\$
$k$ 步后：
$U_k=c_11^kx_1+c_2(0.7)^kx_2=c_1x_1+c_2x_2(0.7)^k \\ \begin{align} U_0&=\begin{bmatrix}0\\1000\end{bmatrix}\\ &=c_1x_1+c_2x_2\\ &=c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2c_1\\c_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-c_2\\c_2\end{bmatrix}\\ &= \begin{cases} 2c_1-c_2=0\\ c_1+c_2=1000 \end{cases} \end{align}\\ \to \underbrace{c_1=\frac{1000}{3}}_{这是要求的}; \underbrace{c_2=\frac{2000}{3}}_{这是(0.7)^k将要消失的}$

马尔科夫矩阵，人口迁移建模得到的例子，总数不增不减

讨论带有标准正交基的投影问题

基向量为 $q_1,q_1,\dots,q_n$ ， $V$ 是所有基向量的某种组合，组合数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 是多少？
$V=x_1q_1+x_2q_2+\dots+x_nq_n \tag{1}$
将每一项与和 $q_1$ 做内积
$\because q标准正交 \\ \to q_1.q_1=q_1^T.q_1=1 \\ q_1.q_2=q_1^Tq_2=0\\ q_1.q_3=q_1^Tq_3=0\\ \vdots\\ q_1.q_n=q_1^Tq_n=0 \\ \begin{align} q_1^TV&=q_1^T(x_1q_1)+q_1^T(x_2q_2)+\dots+q_1^T(x_nq_n)\\ &=x_1\underbrace{q_1^Tq_1}_{1}+x_2 \underbrace{q_1^Tq_2}_{0}+\dots+x_n \underbrace{q_1^Tq_n}_{0}\\ &=x_1\\ \end{align}\\ 整理得：x_1=q_1^T$