设函数
(1)当 为自然对数的底数)时，求
的极小值；
(2) 讨论函数 零点的个数；
(3) 若对任意 恒成立,求
的取值范围.
(1)(2)不是本文讨论的内容，略过；
(3)
法一（常规解法）：
对任意的 ,
恒成立
恒成立.
设 ，则
在
单调递减.
所以 在
上恒成立,
即恒成立,
所以.
法二（拉格朗日中值定理）
错解： 恒成立
恒成立.
即 在
上恒成立,
即恒成立,
所以.
这种解法错误源于对拉格朗日中值定理理解不到位，我们来看看该定理.
（拉格朗日中值定理）如果函数 满足下列条件:
(1)在闭区间上连续; (2)在开区间
内可导。
则在开区间内至少存在一点
使得
理解：闭区间上的每一条割线，在开区间
内都有一条切线与之平行.
关键：这个定理不可逆.
也就是说，并不是每条切线都能有与之平行的割线，这种情况出现在函数有拐点的时候.
对于上题，当时，
的解为
，且
在
的左右两侧异号，所以
为函数
的拐点，函数
在该点的切线并无哪条割线与之平行.
而该点处的切线斜率为，题目要求割线斜率小于
，所以切线斜率可以等于
.
故解法二应改为.
总结：拉格朗日中值定理不可逆，当函数在定义域上为凹函数或凸函数的时候可逆.
