矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式非零。
考虑![\boldsymbol{A} = \left[ a_i\!_j \right],a_i\!_j \neq 0](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%20a_i%5C!_j%20%5Cright%5D%2Ca_i%5C!_j%20%5Cneq%200)
。
的第二行和第三行都乘以
，然后再分别减去第一行适当的倍数，则行等价于下面两个矩阵：
～
由于可逆，故矩阵中(2,2)元素和(3,2)元素不同时为0.不妨假设(2,2)元素不等于零（否则，可以做一个行对换边变成这种情形）。在进行行化简：
～
其中，
。
由于可逆，故
一定不等于零。我们称这个(1)式中的为
矩阵的行列式。
矩阵的行列式:
。
矩阵的行列式:
。利用行列式来重写(1)中的行列式。
%20-%20(a_1%5C!_2a_2%5C!_1a_3%5C!_3%20-%20a_1%5C!_2a_2%5C!_3a_3%5C!_1)%20%2B%20(a_1%5C!_3a_2%5C!_1a_3%5C!_2-%20a_1%5C!_3a_2%5C!_2a_3%5C!_1)%20%5C%5C%20%26%3D%20a_1%5C!_1%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_2%20%26%20a_2%5C!_3%20%5C%5C%20a_3%5C!_2%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%20-%20a_1%5C!_2%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_1%20%26%20a_2%5C!_3%20%5C%5C%20a_3%5C!_1%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20a_1%5C!_3%20%5Ctimes%20det%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a_2%5C!_1%20%26%20a_2%5C!_2%20%5C%5C%20a_3%5C!_1%20%26%20a_3%5C!_3%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cend%7Baligned%7D)
为了简单，可写成
，其中
由中删除第一行和三列中之一列而得到。
当
矩阵![\boldsymbol{A}=\left[ a_i\!_j \right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cboldsymbol%7BA%7D%3D%5Cleft%5B%20a_i%5C!_j%20%5Cright%5D)
的行列式是形如
的
个项的和，其中加号和减号交替出现，元素
来自于第一行，用符号表示为：
%5E%7B1%2Bn%7Da_1%5C!_n%20%5Ctimes%20%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_n%20%7D%20%5C%5C%20%26%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bn%7D%7B(-1)%5E%7B1%2Bj%7Ddet%20%5C%3B%5Cboldsymbol%7BA_1%5C!_j%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
计算行列式
，其中
解：
%20-%205(0-0)%20%2B%200(-4-0)%20%3D%20-2%5Cend%7Baligned%7D)
方阵的行列式的另一个常用记号是利用一对竖线代替括号。这样，上式可写为：
给定,的(i,j)余因子
表示为：%5E%7Bi%2Bj%7DdetA_i%5C!_j)
，则
。这个公式称为按的第一行的余因子展开式。
定理 1 
矩阵的的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算，按第
行展开的余因子展开式为：
；按第
列的余因子展开式为：
。(i,j)余因子中加号或减号取决于
在矩阵中的位置，而于本身的符号无关。
定理 2 
若为三角形，则
等于的主对角线上元素的乘积。
