LeetCode原题链接

一、写在前面

本题关于快慢指针的解法，网上有很多分享文章，很感谢这些作者，帮我解答了最初的疑惑。

但当自己想系统了解该算法时，却发现很多文章都存在以下两点不足：

1. 数学证明不完整，或者过于复杂；
2. 关于时间复杂度的计算，没有详细说明。

针对这两个问题，本文尽可能用简单的方式，叙述清楚。希望大家有所收获。

二、问题回顾及算法基本思想

问题：

若链表存在环，请找到入环点。

快慢指针算法思想：

1. 定义快慢指针fast和slow，起始都位于链表头部。规定fast每次后移两个位置，slow每次后移一个位置。
2. 若链表无环，则fast遇到null节点时，立刻返回。
3. 如果链中有环，fast和slow一定会再次相遇。
4. 当fast和slow相遇时，额外使用指针ptr，并指向链表头部。ptr和slow每次都后移一个位置，最终它们会在入环点相遇。

三、疑问

1. 为什么fast和slow一定会相遇？
2. fast和slow相遇时，slow指针会不会绕环超过一圈？
3. 为什么ptr指针和slow指针相遇的节点一定是入环点？
4. 为什么fast每次移动2步，能不能移动3、4、5...步？

四、问题解答

问题1：为什么fast和slow一定会相遇？

我们知道，两人绕操场跑圈，只要一直跑，快的肯定会追上慢的，即再次相遇。

但本题场景略有不同，我们可以把操场想成一个个格子组成的链表环，slow每次跳一格，fast每次跳两格，只有两人站在同一个格子上，才算相遇。

在此要求下，还能保证一定相遇吗，答案是肯定的。

我们来看slow和fast之间的距离，有以下几种情况：

• 相距1格，下次相遇。
• 相距2步，下一次移动，变为相距1格。
• 其它时刻，每次环内移动，距离缩短1，直至相距2格。

通过分析可知，快慢指针一定会相遇。

问题2：fast和slow相遇时，slow指针绕环会超过一圈吗？

我们先假设没有环外部分，整个链表就是一个环，slow和fast从环中同一点出发，fast的速度是slow的两倍。当slow绕环一圈，回到起点时，fast刚好跑完两圈，两者相遇。

当存在环外部分时，slow到达入环点时，fast指针已进入环内，相当于提前追赶了一段时间，将提前达到【相差一个格子】的状态，再次相遇时，slow还没有绕环一圈。因为即使fast不“提前追赶”，相遇时slow也才刚好绕环一圈而已。

因此，无论是否有环外部分，两指针相遇时，slow都不可能绕环超过一圈。

这里补充一句，相遇时，fast是可能绕环多圈的，很多文章的观点是错误的，在此纠正一下。

问题3：为什么ptr指针和slow指针相遇的节点一定是入环点？

jindian_02.08.png

如图所示，假设环外部分长度为a，slow指针进入环后，又走了b的距离与fast相遇。此时，fast指针已经走完了环的n圈，因此它走过的总距离为：

任意时刻，fast指针走过的距离都为slow指针的2倍，而且通过问题2的解答，我们已经知道，slow指针是不可能绕环超过一圈的，则：

这个等量关系特别重要，其中表示slow与fast指针相遇位置到入环点的距离，而则是 圈的环长。

因此，只需要再添加一个指针指向头结点，当它走完环外距离a的时候，则会与在绕圈等它的slow相遇。而相遇点恰好是入环点。

问题4：为什么fast每次移动2步，能不能移动3、4、5...步？

设环外长度为w，环长度为s。取一特殊值j，保证j>w且是s整数倍的最小值。将slow走了j步后的位置记为X，则fast走了kj步，记为X，其中k为fast与slow的速度比值。

因为j>w，所以slow和fast都在环内，而且X可以看做从X出发，走了(k-1)*j步，因为j是环长的整数倍，所以又回到了X，两者相遇。

从上面的分析可知，无论fast取任何值，两者都会相遇。即使比值K是小数2.3，也只需要j乘以10，就证明了这个问题。

我们之所以取fast=2，是因为快指针的时间复杂度为O(n*fast)，可以保证算法效率最高。

五、复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，N为链表节点数量，通过问题2和问题3的分析可知，slow与fast相遇时，slow不会绕环超过一周，寻找入环点时，也只走了环外距离a。因此，总的执行时间为：

• 空间复杂度：O(1)。因为只使用了slow、fast、ptr三个指针。

六、代码

/**
* Definition for singly-linked list.
* class ListNode {
*     int val;
*     ListNode next;
*     ListNode(int x) {
*         val = x;
*         next = null;
*     }
* }
*/
public class Solution {
    public ListNode detectCycle(ListNode head) {
        if (head == null) {
            return null;
        }
        ListNode slow = head, fast = head;
        while (fast != null) {
            slow = slow.next;
            if (fast.next != null) {
                fast = fast.next.next;
            } else {
                return null;
            }
            if (fast == slow) {
                ListNode ptr = head;
                while (ptr != slow) {
                    ptr = ptr.next;
                    slow = slow.next;
                }
                return ptr;
            }
        }
        return null;
    }
}

七、写在最后

• 想补充或者有疑问的朋友，请在评论区留言。

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