一、变量之间约束的种类
1. 无约束
（完全相互独立）
2. 纯非线性约束
（有约束，但ρ=0.
比如Y=X², X²+Y²=1等）
3. 一般约束
(是非线性约束, 但有线性度ρ∈(-1, 0)∪(0, 1)
比如Y=X³, Y=lnX等)
4. 纯线性约束
(Y=kX+b, k≠0，ρ=±1）
二、独立与相关的辨析
1. 独立：两个变量没有任何约束
2. 不独立：两个变量有约束
3. 相关：两个变量存在线性约束
4. 不相关：两个变量没有线性约束
实际中有三种情况
1. 独立不相关：两个变量没有任何约束
2. 不独立不相关：两个变量有约束，但这个约束是完全非线性的。
3. 相关且不独立
①一般相关 ρ∈(-1, 0)∪(0, 1)：
两个变量有约束，这个约束是一般约束。
②纯线性相关 ρ=±1：
两个变量有约束，这个约束是纯线性约束。
三、二维正态分布
㈠二维正态下的变量约束
二维正态分布中，两个变量之间不存在纯非线性约束，也就是两个变量的约束只有两种情况：无约束, 一般约束。
可见，二维正态的两个变量，并不存在纯非线性约束和纯线性约束。
因为不存在纯非线性约束，所以二维正态分布的两个变量不存在既不相关也不独立的情况，也就是，X与Y独立⇔ρ=0
因为不存在纯线性约束，所以二维正态分布不可能线性相关，也就是ρ≠±1
㈡二维正态下的结论
1. 一维变量的分布
①X, Y各自都服从一维正态
②X, Y的非零线性组合也服从一维正态
2. 二维线性变换的分布
U=aX+bY, V=cX+dY,
则(U, V)服从二维正态⇔方阵(a, b/c, d)可逆
3. 相关和独立的特殊关系
①X, Y不相关⇔X, Y独立
②X, Y不独立⇔ρ∈(-1, 0)∪(0, 1)
㈢一维正态反推二维正态
已知X, Y服从一维正态分布
1. 若X, Y独立，
则（X, Y）服从二维正态，且ρ=0
2. 若X, Y不独立，
则（X, Y）未必服从二维正态
除非ρ∈(-1, 0)∪(0, 1)
