今天谈的是一道中考题解答的前前后后。出自今年某市中考选择题最后一题，叫选择题的压轴题。乍一看到这题，立即意识到怎么出这么道简单问题？从网传学生记忆的这道中考题，才发觉不好玩。直到暑期业务培训，这半个多月里，对这题感觉好像迷迷瞪瞪的，没有弄明白这题的分析思路与解答方法。这道题看上去很眼熟，题图也不复杂，理应不会成为棘手压轴题。为什么却困扰了我一段时间呢？看了得好好琢磨琢磨。
这题说的是，直角三角形ABC的一内角A是30度，角B是直角。它所对的边BC是2，直角边AB的中点记作D，斜边AC上有一点E，且AD：AB=DE：BC，请你求一求AE的长。相信不少同学和老师看了之后，认为似曾相识，有种简单感觉，但是做起来又犹豫不决。这个选择题给四个选项，两单个答案，两双个答案。具有迷惑性，究竟选哪个呢？第一个显然不能选，无论从哪个角度都难求；选第二个答案2，又担心还有别的解答吗？可是另外答案又不可能存在。第三个第四选项呢？都是两个答案，都有一个确定了的答案，一时拿不定主意。那么这道题究竟让人迷惑在哪里呢？现在耐心细致地探究一下。
从图形上来看，有三角形ADE相似于ABC，易得AE=2。如果AC上还有一点E，还有解的话，AD：AB=DE：BC，不成立，三角形ADE相似于ABC到了三角形难以成立。
谁又给你说的三角形ADE相似于ABC。自以为是，思维定势干扰的结果。看着相似不中，必须严格推演。先看三角形ADE和三角形ABC相似证明一番。反证法来做。如何严谨说明两三角形相似。根据相似三角形判定定理，两组对应边和他们的夹角成比例，这两个三角形相似。条件中已经给了对应边成比例，不过不知道对应角相等不。所以直接证明很困难，间接来证。实际上直接证明三角形相似判定条件是没有用的。就这么一条，貌似行得通，实际行不通，就像全等三角形的两组对应边和其中一组对应边的所对组对应角相等，两三角形全等。没有边边角这样的判定条件。最多看到一个答案，需要我们耐心寻找另一个答案，经过严格推理，理论支撑，才算搞得明白，就容易产生接地气的运用效果。图上给出了三角形中位线母题模型，几何直观告诉我们：毫无疑问两三角形相似（严谨证明在后面）；如果在AC边上再找一点构成三角形ADE，和三角形ACB或ABC相似难上加难，长得不像，几何直观告诉我们不存在相似关系，也无法得到对应线段成比例，那么第二种情形不存在，答案也莫须有了。所以选B。可是怎么不困惑？担心有第二个答案，其实不成立不存在，可是选项里明明给了有一题双解答案两个啊。
其实是自作多情、随意增加条件惹得祸。这道题和三角形相似有联系，又没有联系。像第一种情况，看上去相似，但是你还没有充分的理由来说明他们相似。三角形ADE和三角形ABC，一对公共角，一组对边和一组临边成比例，即DE与BC的比等于AD与AB的比，能说明两三角形相似吗？没有这种判定定理。必须严格推理表达证明。从图上看出来他们是相似关系，是没有说服力的。这道可曾相识的问题，实质和相似没有必然联系。那么这种情况下，怎么得到第二个答案AE=2呢？这题结合条件，直接代入计算求值，DE=1后，怎么说明DE ⫽ BC是关键，也是难点。直接证明困难，间接证明起来。取AC中点E'，连接DE'。根据三角形中位线性质可得DE '⫽ BC，DE'为1。过BC外一点D有且仅有一条直线与已知直线BC平行，即DE '平行于BC。三角形DEE'中，DE=DE'=1，以D为圆心，以DE为半径画弧，分别交AC于E、E''。一个与E'重合，一个不重合。重合理由两条线段端点重合，线段长又相等，方向一致，另一组端点也重合。这时DE ⫽ BC，三角形ADE相似于ABC，AD为2。另一种情形，E点与E'不重合，结果三角形ADE不相似于ABC，但是不妨碍计算AD长。在第一种情形下，三角形AEE''构成特殊三角形等边三角形，你能说明其中道理。原来如此，由第一种情形可知，角AED是60度，又因为DE=DE''，所以，三角形DEE''是等边三角形，边长是1，AE为1了。第二种情形不要考虑三角形相似关系了。不要受这个三角形ADE是一个钝角三角形，而ABC是直角三角形，所以没有相似的可能等因素影响。这时跟相似没有半毛钱关系。
所以题图最大陷阱是引导你找三角形相似这个路子上去。严谨说明这题有缺陷。误导人从图形直观上来判断，是不严谨的，也是不科学的。应该不给图，让人直接画图，训练看文想图，全面真实地发展逻辑思维与严谨批判性思维，效果更好。这里图文不严谨是本题的缺陷。“如图了，答案就确定了。变化了的点一定说明，如E为动点”。
这道题历经半个多月终于想明白了，那么给我们的启发是什么呢？在学习新知理解内涵时，要以练促思，解决疑难问题时，一定要弄清楚条件和问题的含义，特别是知识点的来龙去脉，一定要理清楚，不可死记硬背。那样的话，到关键时候会束手无策。同时，喜望我们教师不能急于求成，一定要讲与做实验密切结合，思辨与变式练习相辅相成。让学生体味品味成功学习的乐趣。第二，独立思考，深入思考不是一蹴而就的，一定要坚持，一定要养成习惯，一定要有意思，下决心把问题想明白，弄清楚的不竭动力。才能培养独立思考能力，培养批判精神。从而发展我们的核心素养。第三，做好实操练习。一验证知识深入理解，二练出导出问题和求知欲。想了马上做，一定要算起来，解决问题，弄并且经常的复习思考。
