向量值函数笔记:Sobolev空间

这是向量值函数(B值函数)系列笔记的第三篇. 为方便阅读, 这里放出目录:
(1)向量值函数笔记: Bochner积分
(2)向量值函数笔记: L^p空间
(3)向量值函数笔记:Sobolev空间

如果有记号未曾定义便出现, 请参阅之前的笔记.

下面我们讨论时间弱导数, 此时我们假定测度空间 $S=I$ 是 $\mathbb{R}$ 中的开区间(不一定有限), 测度是Lebesgue测度, 相应的Lebesgue-Bochner空间记为 $L^1(I;X)$ , 如果 $I=(a,b)$ , 则记为 $L^1(a,b;X)$ .

定义1(弱导数). 设 $u,v\in L^1_{loc}(I;X)$ , 如果对任何 $\phi\in C_c^\infty(I)$ , 有
$\int_Iu(s)\phi'(s)ds=-\int_Iv(s)\phi(s)ds$
那么我们说 $v$ 是 $u$ 的弱导数, 简记为 $u'=v$ .

我们首先还是要建立弱导数的唯一性, 这依赖于下面的引理:

引理2. 设 $u\in L^1_{loc}(I;X)$ . 如果 $\forall\phi\in C_c^\infty(I)$ , 有 $\int_Iu(t)\phi(t)dt=0$ , 则几乎处处有 $u=0$ .
证明. 任取 $(a,b)\subset I$ , 存在 $\varepsilon>0$ 使得 $(a-\varepsilon,b+\varepsilon)\subset I$ , 取非负的 $\{\phi_n\}\subset C_c^\infty(a-\varepsilon,b+\varepsilon)$ 使得 $\forall t\in I$ , 有 $\phi_n(t)\rightarrow\chi_{(a,b)}(t)$ , 且 $\phi_n\le1$ .
由于 $\int_Iu(t)\phi_n(t)dt=0$ , 利用向量值Lebesgue控制收敛定理可得 $\int_a^bu(t)dt=0$ . 利用 $(a,b)$ 的任意性以及向量值Lebesgue微分定理即可得到 $u=0$ $\mu$ -a.e.. $\blacksquare$

由这个引理, 如果 $v_1,v_2$ 都是 $u$ 的弱导数, 那么 $\forall\phi\in C_c^\infty(I)$ , 有 $\int_I(v_1-v_2)\phi dt=0$ , 故 $v_1=v_2$ $\mu$ -a.e..

引理3(弱导数为零是常函数). 设 $u\in L^1_{loc}(I;X)$ . 如果 $\forall\phi\in C_c^\infty(I)$ , 有 $\int_Iu(t)\phi'(t)dt=0$ , 则存在 $c\in\mathbb{K}$ 使得几乎处处有 $u=c$ .
证明. 这个证明来自Hunter的讲义, 感觉有点技巧性.
固定 $\eta\in C_c^\infty(I)$ , 满足 $\int_I\eta dt=1$ . 对任何 $\phi\in C_c^\infty(I)$ , 我们把 $\phi$ 改写为 $\phi=A\eta+\psi'$ , 其中 $A\in\mathbb{K}$ 和 $\psi\in C_c^\infty(I)$ 定义为
$A=\int_I\phi dt$
$\psi(t)=\int_a^t[\phi(s)-A\eta(s)]ds$
这里 $a$ 是任意一个 $I$ 中的元素.
再令 $c=\int_I\eta udt$ , 则
$\int_I(u-c)\phi dt=\int_I(u-c)(A\eta+\psi')dt$
$=\int_I(u-c)A\eta dt=A\int_Iu\eta dt-Ac\int_I\eta dt$
$=Ac-Ac=0$
由 $\phi$ 的任意性即得结论. $\blacksquare$

和普通的一维Sobolev空间一样, 弱导数存在等价于绝对连续.

定理4. 设 $u,g\in L^1(I;X)$ , $a\in I$ . 则如下三条是等价的:
(1) $u'=g$ ;
(2)存在 $\xi\in X$ 使得对几乎处处的 $t\in I$ 有 $u(t)=\xi+\int_a^tg(s)ds$ ;
(3)对任何 $f\in X^*$ , 在弱导数意义下有 $\frac{d}{dt} \langle f,u\rangle = \langle f,g\rangle$ .
证明. 先证(2) $\Rightarrow$ (1). 假设(2)成立, 来证(1).
由于可以把 $g$ 零延拓到 $\mathbb{R}$ 上成为 $L^1(\mathbb{R};X)$ 中的元素, 所以可以不妨设 $a=-\infty$ . 若不然可以把 $u$ 写为
$u(t)=\xi-\int_{-\infty}^ag(s)ds+\int_{-\infty}^tg(s)ds$
然后令 $\xi'=\xi-\int_{-\infty}^ag(s)ds$ 即可.
任取 $\phi\in C_c^\infty(I)$ , 我们来验证 $\int_I\phi'udt=-\int_I\phi gdt$ .
$\int_I\phi'udt=\int_{\mathbb{R}}\phi'(t)\left(\xi+\int_{-\infty}^tg(s)ds\right)dt$
$=\xi\int_{\mathbb{R}}\phi'(t)dt+\int_{\mathbb{R}}dt\int_{-\infty}^t\phi'(t)g(s)ds=\int_{\mathbb{R}}dt\int_{-\infty}^t\phi'(t)g(s)ds$
$\overset{\text{Fubini}}{=}\int_{\mathbb{R}^2}\phi'(t)g(s)\cdot\chi_{\{s<t\}}(t,s)dtds$
$\overset{\text{Fubini}}{=}\int_{\mathbb{R}}ds\int_s^{+\infty}\phi'(t)g(s)dt=-\int_{\mathbb{R}}\phi(s)g(s)ds=-\int_I\phi gdt$
再证(1) $\Rightarrow$ (2). 令 $\widetilde u(t)=\int_0^tg(s)ds$ , 用(2) $\Rightarrow$ (1)时的论证可以得到 $\widetilde u'=g$ , 故 $\widetilde u'-u'=0$ , 由引理16得到存在 $\xi\in X$ 使得 $\widetilde u-u=\xi$ , 这正是我们想要的.
再证(1) $\Rightarrow$ (3). 任取 $f\in X^*$ , 作用在 $\int_I\phi'udt=\int_I\phi gdt$ 两边即得结论(注意定理13).
再证(3) $\Rightarrow$ (1). 把 $\int_I\phi'\langle f,u\rangle dt=\int_I\phi\langle f,g\rangle dt$ 改写为 $\langle f,\int_I\phi'udt-\int_I\phi gdt\rangle=0$ , 由 $X^*$ 分离 $X$ 即得 $\int_I\phi'udt-\int_I\phi gdt=0$ , 再由 $\phi$ 的任意性即得结论. $\blacksquare$

由这个定理可以知道, 弱导数存在可以说相当于绝对连续. 所以实际上(3)还有更多的含义: $\langle f,u\rangle$ 在 $I$ 上是绝对连续的(从而也几乎处处有经典导数), 并且其经典导数几乎处处等于 $\langle f,g\rangle$ .

接下来我们要讨论所谓的Hilbert三元组(名称来自Hunter的讲义), 不过我们不打算讨论太过一般的情形, 而依旧只讨论evans上的 $H_0^1\hookrightarrow L^2\hookrightarrow H^{-1}$ 的情形.

设 $U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界区域. 如果 $u\in L^2(0,T;H_0^1(U))$ , 那么显然也有 $u\in L^2(0,T;H^{-1}(U))$ . 假设 $u$ 在 $H^{-1}(U)$ 中有弱导数 $u_t$ , 即对任何 $\phi\in C_c^\infty(0,T)$ , 有 $\int_0^T\phi'udt=-\int_0^T\phi u_tdt$ , 这个等号是 $H^{-1}$ 中的等号, 两个积分是 $H^{-1}$ 中的Bochner积分, 并且 $u_t\in L^2(0,T;H^{-1}(U))$ . 在这种情况下, 我们就简单说 $u\in L^2(0,T;H_0^1(U))$ , $u_t\in L^2(0,T;H^{-1}(U))$ . 我在初学时一直没想明白为什么 $u$ 所在的Banach空间和弱导数所在的不一样, 所以特此说明.

定理5(Hilbert三元组). 如果 $u\in L^2(0,T;H_0^1(U))$ , 其弱导数 $u_t\in L^2(0,T;H^{-1}(U))$ , 则:
(1)适当定义端点的值以及重新定义一个零测集上的值后有 $u\in C([0,T];L^2(U))$ ;
(2)标量函数 $\|u(t)\|_{L^2}^2$ 是绝对连续的, 并且其弱导数为 $\frac{d}{dt}\|u(t)\|_{L^2}^2=2\langle u_t(t),u(t)\rangle$ ;
(3)我们有估计
$\|u\|_{L^\infty(0,T;L^2(U))}\lesssim_T\|u\|_{L^2(0,T;H_0^1(U))}+\|u\|_{L^2(0,T;H^{-1}(U))}$
证明. 首先取 $\widetilde u\in L^2(\mathbb{R};H_0^1(U))$ 使得 $\widetilde u|_{(0,T)}=u$ , 并且 $\widetilde u_t\in L^2(\mathbb{R};H^{-1}(U))$ , $\widetilde u_t|_{(0,T)}=u_t$ . 为了不打断思路, 这种取法的存在性留待最后再证(实际上差不多可以认为是向量值版本的Sobolev延拓).
令 $u^\varepsilon=\widetilde u\ast \alpha_\varepsilon$ , 其中 $\alpha_\varepsilon$ 是一维的磨光函数族. 则可以验证 $u^\varepsilon\in C^\infty(\mathbb{R};H_0^1(U))$ .
现在我们来证明在 $L^2(\mathbb{R};H_0^1(U))$ 中 $u^\varepsilon\rightarrow\widetilde u$ , 在 $L^2(\mathbb{R};H^{-1}(U))$ 中 $(u^\varepsilon)_t\rightarrow (\widetilde u_t)^\varepsilon$ .