高中数列之纲~常用方法：裂项求和

裂项求和

我们从头说起。

在小学时代，已经学过下面的运算技巧：

因为 $\dfrac {1} {2} - \dfrac {1} {3} = \dfrac {3-2} {6} = \dfrac {1} {6}$

所以 $\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dfrac{1}{3 \times 4}$
$= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=1-\dfrac{1}{4}$

在初中学习代数后，可以将以上经验推广为一般形式：

$\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3} + \dots +\dfrac{1}{n(n+1)}$
$=1-\dfrac{1}{n+1}$

在高中学习等差数列后，可作进一步推广：

$\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2} - \dfrac{1}{a_3} + \dfrac{1}{a_3} + \dots + \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$
$=\dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$

$\because \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{d}{a_n a_{n+1}}$

$\therefore \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_i a_{i+1}}$
$= \dfrac{1}{a_1a_2} + \dfrac{1}{a_1a_2} + \dots + \dfrac{1}{a_na_{n+1}}$

$= \dfrac{1}{d} \cdot (\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}})$

【提炼与提高】

我们从小学的经验开始讲起，目的是要强调这一主张：

『要学会推导公式；不要盲目背公式。』

【真题实例】

裂项求和，是高中数列中的重要方法，也是高考热点。最近十年的真题中出现了多次。例如：

2011年理科数学大纲卷题20

2014年理科数学大纲卷题18

2015年理数全国卷A题17

2017年理数全国卷B题15

最后编辑于：2021.10.03 21:52:51

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