[初中数学】几何经典问题——三角形的两个角平分线夹角和另一个角关系探究

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

三角形的角平分线

三角形两个角平分线构成的角，与三角形另一个角的关系探究。
结论不必掌握，重要的是掌握过程中使用的方法与核心基础定理。

核心基础定理

三角形内角和为180°
三角形的外角等于不相邻两个内角之和。

1 两个内角的角平分线

$\begin{align} &如图，\triangle ABC中，\angle B 和 \angle C 的角平分线相交于点D \\ &探究 \angle D 和 \angle A的关系 \end{align}$

1-1.png

$\begin{align} &\because\triangle ABC的内角和为180^\circ & \\ &\therefore\angle A+2\angle 1+2\angle 2=180^\circ \tag{1} \\ &\because\triangle DBC的内角和为180^\circ & \\ &\therefore\angle D+\angle 1+\angle 2=180^\circ \tag{2} \\ \\ & (要探究 \angle D 和 \angle A的关系，就要把上面两个公式中的\angle 1+\angle 2消去。) \\ \\ & 2 \times (2)-(1)得 \\ & 2 \angle D - \angle A = 180^\circ\\ &\therefore \angle A = 2\angle D - 180^\circ \\ &\therefore \angle D = \frac {1} {2}\angle A + 90^\circ \\ \end{align}$

2 一个内角一个外角的角平分线

$\begin{align} & 如图，\triangle ABC中，\angle B 的角平分线和 \angle C 的外角平分线相交于点E \\ & 探究 \angle E 和 \angle A的关系 \end{align}$

1-2.png

$\begin{align} &\because 三角形的外角等于不相邻两个内角的和 \\ &\therefore 对于\triangle EBC， \angle 3 = \angle 1+ \angle E \tag{1} \\ &\therefore 对于\triangle ABC， 2\angle 3 = 2\angle 1+ \angle A \tag{2} \\ \\ & 由(1)和(2)可得 \\ & \angle A = 2\angle E \\ \end{align}$

3 两个外角的角平分线

$\begin{align} & 如图，\triangle ABC中，\angle B 的外角平分线和 \angle C 的外角平分线相交于点F \\ & 探究 \angle F 和 \angle A的关系 \end{align}$

1-3.png

$\begin{align} &\because\triangle FBC的内角和为180^\circ & \\ &\therefore \angle F = 180^\circ-\angle 3 - \angle 4 \tag{1} \\ &\because 三角形的外角等于不相邻两个内角的和 \\ &\therefore 2\angle 3 = \angle A + \angle ABC \\ &\therefore 2\angle 4 = \angle A + \angle ACB \\ &\therefore 2\angle 3 + 2\angle 4 = \angle A + \angle ABC + \angle A + \angle ACB \\ & = (\angle A + \angle ABC + \angle ACB) + \angle A \\ & = 180^\circ + \angle A \\ &即 \angle A = 180^\circ - 2\angle 3 - 2\angle 4 \tag{2} \\ \\ & (要探究 \angle A 和 \angle F 的关系，就要把上面两个公式中的\angle 3+\angle 4 消去。) \\ \\ & 2 \times (1)- (2)得 \\ & 2 \angle F - \angle A = 180^\circ \\ & 即 \\ & \angle A = 2 \angle F - 180^\circ \\ & \angle F = \frac{1} {2} \angle A + 90^\circ \\ \end{align}$

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