1.7、坐标系与参数方程

一、坐标系

1、直角坐标系

建立坐标系必须满足的条件
任意一点都有确定的坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置。
数轴（直线坐标系）
在直线上确定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位。点O，长度单位和选定的方向三者构成了直线上的坐标，简称数轴。
平面直角坐标系
在平面上取两条相互垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点，再取一个长度单位，如此取定的两条相互垂直的且有方向的直线，和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记作xOy
空间直角坐标系
过空间一个顶点O，作三条相互垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系。点O成为坐标原点，三条数轴分别称为x轴，y轴，z轴
坐标系的作用
①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物
②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）
③课通过数形结合，用代数的方法解决几何问题

2、平面上的伸缩变换

设点p（x，y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换 $\varphi: \begin{cases} x^{'} =λx（λ>0）\\ y^{'} =uy（u>0） \end{cases}$ 的作用下，p（x，y）对应点 $p^{'}$ ( $x^{'},y^{'}$ ),称 $\varphi$ 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

3、极坐标系

极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，从O引一条射线OX，设定一个单位长度以计算这角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线OX叫做极轴。
极坐标系的四要素：极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向。极坐标系的四要素，缺一不可。
点的极坐标
设M点是平面内任意一点，有ρ表示线段OM的长度，θ表示射线OX到OM的角度，有序数对（ρ，θ）叫做M点的极坐标。

4、极坐标和直角坐标的互化

互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位
互化公式
$\begin{cases} x=ρcosθ\\ y =ρsinθ \end{cases}$
$\begin{cases} ρ^2=x^2+y^2\\ tanθ =\frac {y} {x}(x≠0） \end{cases}$

5、曲线的极坐标方程

一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f（ρ，θ）=0；反之，极坐标适合方程f（ρ，θ）=0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标的曲线。

6、直线的极坐标方程

过极点且与极轴称α角的直线方程θ = α
过点( $a，\frac {π}{2}$ )，且平行于极轴的直线方程时ρsinθ = a
过点（a,0）,且垂直于极轴的直线方程时ρcosθ = a
倾斜角为α，且极点到直线的距离是d的方程。若直线与极轴相交，则ρsin（θ-α）= d；若直线与极轴的反向延长线相交，ρsin(θ-α)=d
过定点（ $ρ_0,θ_0$ ）,且倾斜角为α的直线方程时ρsin(α-θ)= $ρ_0$ sin(α- $θ_0$ )
定理：若极坐标方程f(ρ，θ) = 0表示的曲线过极点，则方程ρ.f(ρ，θ) = 0与f(ρ，θ)等价。

7、圆的极坐标方程

圆心在（ $ρ_0,θ_0$ ）半径为r，则圆的方程为 $ρ^2$ -2 $ρ_0$ ρcos(θ- $θ_0$ )+ $ρ_0$ - $r^2$ = 0，这是圆在极坐标下的一般方程。
过极点且半径为r的圆方程
①若圆心是(r, $θ_0$ ),则方程为ρ=2rcos（θ- $θ_0$ ）
②若圆心是(r,0),则方程为ρ=2rcos（θ）
③若圆心是（r，π），则方程为ρ = -2rcosθ
④若圆心是（r， $\frac{π}{2}$ ），则方程为则方程为ρ = 2rsinθ
⑤若圆心是（r， $\frac{3π}{2}$ ），则方程为则方程为ρ = -2rsinθ
以极点为圆心，半径为r的圆的方程时ρ=r

8、极坐标系及其与直角坐标的转化

柱坐标系
设p是空间任意一点，在xoy平面的投影点为Q，用(ρ，θ)（ρ≥0,0≤θ≤2π）表示点Q在平面xoy上的极坐标，点p的位置可用有序数组（ρ，θ，z）表示，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ，θ，z）叫点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z∈（-∞，﹢∞）
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的。
柱坐标系与直角坐标系的转化公式
$\left\{ \begin{aligned} x & =ρcosθ \\ y & = ρsinθ \\ z & = z \end{aligned} \right.$

9、球坐标线及其与直角坐标的互化

球坐标线
设P是空间任意一点，连接OP，记|OP| = r,OP 与OZ轴正向所夹的角为 $\varphi$ ,设P在xoy平面的投影点为Q，ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r, $\varphi$ ,θ)之间建立了一种对应关系，我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标线（或空间极坐标系）有序数组(r, $\varphi$ ,θ)叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤ $\varphi$ ≤π，0≤θ<2π
球坐标与直角坐标的转化关系
$\left\{ \begin{aligned} x & =rsin \varphi cosθ \\ y & =rsin \varphi sinθ \\ z & = rcos\varphi \end{aligned} \right.$

10、圆锥曲线的极坐标方程

以焦点O为极点，OX为极轴建立极坐标系，OX与准线l垂直，极轴所在的直线与l交于点D，设圆锥曲线方程为ρ= ρ（θ），在曲线上任取一点M(ρ，θ)，过点M作准线l的垂线MN，记|OA| = P，离心率为e，则圆锥曲线的极坐标方程为：ρ = $\frac{p} {1-ecosθ}$
充分利用离心率的概念做等式。

二、参数方程

1、概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t),y=g(t).并且对于t的每一个允许值，有这个房产组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个房产组就叫这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的房产叫做普通方程。
关于参数方程的几点说明：

参数是联系变数想x，y的桥梁，参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义。
同一曲线选取参数不同，曲线参数方程也不同
在实际问题中要确定参数的取值范围

2、参数方程和普通方程的互化

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的。

参数方程话普通方程的过程就是消参的过程，常见方法有三种
①代入法：类似于解方程消去t
②三角法：利用三角恒等式消去参数
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体去消元
普通方程化为参数方程需要引入参数。参数不同，方程截然不同

3、园的参数方程

以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程
圆心为O(a,b)的参数方程
借助于三角函数

4、椭圆的参数方程

借助与三角函数

5、抛物线的参数方程

借助于三角函数

6、双曲线的参数方程

借助与三角函数

1.7、坐标系与参数方程