逻辑回归 及 梯度下降

重点

1 功能 

2 算法过程 


功能

logistic regression适用于做二分类任务,并给出相应概率。 

例如: 

1 区分是否是垃圾邮件 

2 银行判断是否给用户办理信用卡 


算法过程 

灵感过程 

1 二分类标签(0/1) 

2 可以使用简单的单位阶跃函数(红线)

y=\left\{\begin{aligned}0 \ \ \  z<0 \\0.5 \ \ \  z=0  \\1 \ \ \  z>0\end{aligned}\right.

3 但是阶跃函数不连续,因此使用logistic function (上图中黑线,因为呈现S形,因此也称为sigmoid function)代替,使其连续可导。


y = \frac{1}{1+e^{-z}}


横坐标是z,纵坐标是y.定义域为(正无穷到负无穷)。值域为(0到1,可对应概率值0到1) 



核心问题

求解:


z = XW = w_0+w_1x_1+w_2x_2+...


h_{model} = \frac{1}{1+e^{-z}}



损失函数推导及定义  

1 当label(即y)=1时,

cost = -log(h)

2 当label(即y)=0时,

cost = -log(1-h)

抽象出来:

cost = -ylog(h)-(1-y)log(1-h)


求最优决策边界 

即求解最优的线

z = w_0+w_1x_1+w_2x_2+... = [1, x_1,x_2,...][1, x_1,x_2,...]^T

Z = XW,其中X维度(10,3),假设有10组数据,Z维度(10.1),W维度(3,1)

h_{model} = \frac{1}{1+e^{-z}}

H = \frac{1}{1+e^{-XW}}

H维度(10,1). 

**h对z求导** 

 \frac{\partial h}{\partial z}= \frac{-e^{-z}*-1}{(1+e^{-z})^2} = \frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z})^2} =\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}}) = h(1-h)

h对z求导之后维度(10,1) 

损失函数 cost fuction

H = -Y*log(H)-(1-Y)log(1-H)

cost维度为(10,1)

其中:

cost\sim h \sim z \sim WX

\frac{ \partial cost}{\partial W} = \frac{ \partial cost}{\partial H} *\frac{ \partial H}{\partial Z} *\frac{ \partial z}{\partial W} = X^T*\{(-\frac{Y}{H} +\frac{1-Y}{1-H})*H)(1-H)\}=X^T*\{(-Y+YH+H-HY) \} =X^T(H-Y)



 使用梯度下降法 求最优W

1 初始化W 

2 更新

W:=W-\alpha * \frac{ \partial cost}{\partial W}

3 迭代到一定次数或到一定阈值

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