这一节的主题是独立成分分析(Independent Components Analysis, ICA)。和PCA的降维思路不同，ICA主要解决的是找到数据背后的“独立”成分。我们从一个鸡尾酒会问题开始说起。

在一个鸡尾酒会中假设有n个人同时说话，屋子里的n个麦克风记录着这n个人说话时叠加的声音。由于每个麦克风离人的距离不同，它所采集到的声音是不同的，但都是这n个人声音的一种组合。那么问题是根据这些采集到的声音，我们是否可以还原每个人说话的声音？

该问题可以形式化地描述为，从n个独立的数据源s ∈ Rⁿ中我们观察到了叠加数据x，其中x可以表示为：

其中A是一个未知的方阵，我们称为混合矩阵(mixing matrix)。我们观察到的数据是{x⁽ⁱ⁾; i=1,...,n}，我们的目标是求出源数据{s⁽ⁱ⁾; i=1,...,n}。

在鸡尾酒会问题中，s⁽ⁱ⁾是个n维向量，s_j⁽ⁱ⁾表示第j个人在i时刻发出的声音。同样，x⁽ⁱ⁾也是个n维向量，x_j⁽ⁱ⁾表示第j个麦克风在i时刻采集到的声音。

令W = A^-1表示解析矩阵(unmixing matrix)，我们只需要求出W，然后根据s⁽ⁱ⁾ = Wx⁽ⁱ⁾就能求出s⁽ⁱ⁾。为了简化描述，我们用w_i^T表示W的第i行，因此W可表示为：

ICA的不确定性

如果我们对源数据和混合矩阵没有任何先验知识的话，在求混合矩阵的过程中会存在不确定性。

第一个不确定性来自于源数据的顺序。当源数据的顺序交换后，对混合矩阵的列之间进行对应的交换能够保证生成同样的数据。

第二个不确定性来自于对源数据的缩放。假设我们用2A来替代A，0.5s⁽ⁱ⁾替代s⁽ⁱ⁾，那么x⁽ⁱ⁾ = 2A · 0.5s结果不变，因而s⁽ⁱ⁾和A的值不是唯一确定的。

第三个不确定性来自于源数据不能是高斯分布的。如果源数据s⁽ⁱ⁾是高斯分布的，我们可以证明混合矩阵A不是唯一的。证明如下：

令R是任意正交矩阵(orthogonal matrix)，因而RR^T = I。令A' = AR并将A替换成A'，那么x' = A's，并且x'也是高斯分布的，其均值为0，方差为E[x'(x')^T] = E[A'ss^T(A')^T] = E[ARss^T(AR)^T] = ARR^TA^T = AA^T。也就是说，无论是A还是A'，我们观察到的数据都是服从N(0, AA^T)的高斯分布，因此我们没法区分混合矩阵究竟是A还是A'。

密度函数和线性变换

在推导ICA算法之前，我们先讨论线性变换后的密度函数。

假设随机变量s的概率密度函数为p_s(s)，另一个随机变量x = As，其中A是一个可逆的方阵，x的概率密度函数是p_x，那么p_x为：

其中W = A^-1。

ICA算法

现在我们正式推导ICA算法，这个算法主要归功于Bell和Sejnowski，但我们这里使用最大似然估计法来进行解释。算法原始的版本用了一种更为复杂的方法，但对于目前我们理解ICA算法不是必要的。

假设每个源数据s⁽ⁱ⁾的概率密度函数是p_s，那么它们的联合分布为：

这里我们假设每个源数据都是互相独立的。再根据上一节的公式，由于有x = As这样的线性变换，所以：

前面提过如果没有任何先验知识，W和s是无法唯一确定的，因此我们这里对s的概率密度函数做一定假设，同时根据前面讨论p_s(s)不能是高斯分布的。我们知道密度函数可以通过对累计分布函数求导获得，而累计分布函数必须是在0到1之间单调递增的函数，因此我们可以选取sigmoid函数作为默认的累计分布函数。所以p_s(s) = g'(s)，其中g(s) = 1 / (1 + e^-s)。

确定了p_s(s)后，W是模型里唯一需要求解的参数了。给定训练数据集{x⁽ⁱ⁾; i=1,...,n}，通过最大似然估计法可得：

对l(W)求导并且根据∇_W|W| = |W|(W^-1)^T的事实，我们可得：

其中α是学习率。

算法收敛后即可得到参数W，然后通过s⁽ⁱ⁾ = Wx⁽ⁱ⁾就能还原出源数据了。

总结

• 独立成分分析(ICA)算法可以用于求解类似鸡尾酒会类型的问题，在已知叠加数据的情况下还原出源数据

参考资料

• 斯坦福大学机器学习课CS229讲义 Independent Components Analysis
• 网易公开课：机器学习课程 双语字幕视频