Notes for "Kullback-Leibler approximation for probability measures on infinite dimensional spaces"

Article Information: F. J. Pinski, G. Simpson, A. M. Stuart, and H. Weber, SIAM Journal of Mathematical Analysis, 47(6), 4091-4122

Proof of Corollary 2.2:
Since $D_{KL}(\nu || \mu) < \infty$ for some probability measure $\nu$ , we know that there exists a sequence $\nu_n$ such that
$\begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty}D_{KL}(\nu_n || \mu) = \mathop{\text{inf}}_{\nu} D_{KL}(\nu || \mu) < \infty. \end{align}$
Noticing the second statement in Proposition 2.1, the sequence $\{\nu_n\}_{n=1,2,\cdots}$ must contain a weak convergence subsequence. We still denote the subsequence as $\{\nu_n\}_{n=1,2,\cdots}$ and assume the convergent measure as $\nu_{*}$ . From the first statement in Proposition 2.1, we have
$\begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}D_{KL}(\nu_n || \mu) = D_{KL}(\nu_{*} || \mu) = \mathop{\text{inf}}_{\nu} D_{KL}(\nu || \mu) . \end{align}$
Hence, the proof is completed.

Notes for the Proof of Proposition 2.1:
The lower semicontinuity of $(\nu, \mu) \rightarrow D_{KL}(\nu || \mu)$ can be seen from the following formula
$\begin{align} & \sup_{\Theta}\sup_{n\in \mathbb{N}}\inf_{k \geq n} \left\{ \int \Theta d\nu_n - \log\Big[ \int \exp(\Theta) d\mu_n \Big] \right\} = D_{KL}(\nu_{*} || \mu_{*}) \\ & \quad \leq \sup_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\sup_{\Theta} \left\{ \int \Theta d\nu_n - \log\Big[ \int \exp(\Theta) d\mu_n \Big] \right\} = \liminf_{n\rightarrow \infty} D_{KL}(\nu_n || \mu_n). \end{align}$

Notes for the Proof of Lemma 3.3

As $C_{0}^{-1}+\Gamma$ has form domain $\mathcal{H}^{1}$ , the operator
$(C_{0}^{-1}+\Gamma)^{-1/2}C_{0}^{-1/2}$ is bounded on $\mathcal{H}$ by the closed graph theorem

Proof: Let $\varphi_{n} \rightarrow \varphi$ in $\mathcal{H}$ , and $(C_{0}^{-1}+\Gamma)^{-1/2}C_{0}^{-1/2}\varphi_{n}\rightarrow \psi$ as $n\rightarrow \infty$ , we need to prove $(C_{0}^{-1}+\Gamma)^{-1/2}C_{0}^{-1/2}\varphi = \psi$ .
The key point is the following
$\begin{align} \|(C_{0}^{-1}+\Gamma)^{-1/2}C_{0}^{-1/2}(\varphi_n - \varphi)\| & \leq C \|\varphi_n-\varphi\|_{\mathcal{H}^{-1}} \\ & \leq C \|\varphi_n - \varphi\| \rightarrow 0, \end{align}$
where we used the condition $C_{0}^{-1}+\Gamma$ has form domain $\mathcal{H}^{1}$ .

Notes for Lemma 3.19:
In the proof of Lemma 3.19, the last few lines

$\cdots \nu_{n}(K_{\delta}) \leq \delta$ for any $n\geq 1$ .......
$\nu_{n}^{i}(K_{\delta}) \leq \frac{1}{\hat{p}}\nu(K_{\delta}) \leq \frac{\delta}{\hat{p}}$

By my understanding, these statements should be modified as follow
$\cdots \nu_{n}(\mathcal{H}\backslash K_{\delta}) \leq \delta$ for any $n\geq 1$ .......
$\nu_{n}^{i}(\mathcal{H}\backslash K_{\delta}) \leq \frac{1}{\hat{p}}\nu(\mathcal{H}\backslash K_{\delta}) \leq \frac{\delta}{\hat{p}}$

Notes for the last part of Appendix B:
How to obtain $\sup_{n\geq 1} \| C_{*}^{-1/2}C_{n}^{1/2} \|_{\mathcal{L}(H)} < \infty$
Proof: Since
$\begin{align} \|C_{*}^{1/2}(C_{n}^{-1}-C_{*}^{-1})C_{*}^{1/2}\|_{\mathcal{HS}(\mathcal{H})}=\|(C_{*}^{1/2}C_{n}^{-1/2})(C_{*}^{1/2}C_{n}^{-1/2})^{*}-Id\|_{\mathcal{HS}(\mathcal{H})} \rightarrow 0, \end{align}$
we find that
$\begin{align} 1- \|C_{*}^{1/2}C_{n}^{-1/2}\|^2 \leq \delta, \quad \|C_{*}^{1/2}C_{n}^{-1/2}\|^2 - 1 \leq \delta. \end{align}$
Then, we obtain $1-\delta\leq \|C_{*}^{1/2}C_{n}^{-1/2}\|^2 \leq 1+\delta$ . Hence, naturally, we finally arrive at the conclusion.

最后编辑于：2019.03.12 20:47:54

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 215,384评论 6赞 497
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,845评论 3赞 391
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 161,148评论 0赞 351
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,640评论 1赞 290
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,731评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,712评论 1赞 294
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,703评论 3赞 415
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,473评论 0赞 270
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,915评论 1赞 307
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,227评论 2赞 331
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,384评论 1赞 345
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,063评论 5赞 340
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,706评论 3赞 324
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,302评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,531评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,321评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,248评论 2赞 352

Notes for "Kullback-Leibler approximation for probability measures on infinite dimensional spaces"

推荐阅读更多精彩内容