奇异值分解及其matlab函数svds

设A为m*n阶矩阵，A'表示A的转置矩阵，A'*A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σi(A)。

这几天做实验涉及到奇异值分解svd(singular value decomposition)，涉及到这样的一个问题，

做PCA时候400幅图像拉成向量按列摆放，结果摆成了比如说10000*400大小的矩阵，

用到svd函数进行奇异值分解找主分量，结果MATLAB提示超出内存，后来想起还有个函数叫svds，看到别人用过，以为只是一个变体，没什么区别，就用上了，结果确实在预料之中。但是今天觉得不放心，跑到变量里面看了下，发现这个大的矩阵被分解成了

三个10000*6，6*6，400*6大小的矩阵的乘积，而不是普通的svd分解得到的10000*10000，10000*400，400*400大小的矩阵乘积，把我吓了一跳，都得到预期的结果，难不成这里还出个篓子？赶紧试验，

发现任给一个M*N大小的矩阵，都是被分解成了M*6，6*6，N*6大小的矩阵的乘积，为什么都会出现6呢？确实很纳闷。help svds看了一下，发现svds(A) 返回的就是最大的6个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量，

还好，我们实验中是在svds得到列向量中再取前5个最大的列向量，这个与普通的svd得到的结果是一致的，虚惊一场。。。还得到了一些别的，比如

改变这个默认的设置，

比如用[u,d,v]=svds(A,10)将得到最大的10个特征值及其对应的最大特征行向量和特征列向量，

[u,d,v]=svds(A,10，0)将得到最小的10个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量，

[u,d,v]=svds(A,10，2)将得到与2最接近的10个特征值及其对应的特征行向量和特征列向量。

总之，相比svd，svds的可定制性更强。

奇异值分解非常有用，所谓奇异值分解，即对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。也就是说，可将矩阵A分解为矩阵U,V,S的乘积。

U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。

AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，

A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系