先放一张PCA图
主成分分析（Principal Component Analysis）
是不是听起来就一脸懵,下面就让我们来看看PCA是何方神圣！
01
降维？
主成分分析的字面意思就是用主成分来分析数据呗！阔是，什么是主成分？这就不得不聊一个关于“降维”的故事了。
“学医要考研，考研要复试，复试要…要…要…复试不仅让考生心痛更让导师眼花缭乱。”这不，A导就纠结着到底选5个复试学生里的哪一个来当自己的关门弟子？
A导最终决定用数据说话！设置了“绩点，考研分数，科研能力，笔试成绩，面试表现，英语水平，奖学金，学科竞赛，部门任职”９个指标（相当于从９个维度去评价这5位考生）。
9个指标=9个变量=9个维度
我的三维大脑是搞不定的
看来9维是不行了，那怎么把维度降低，用简单的方法表示复杂的数据分析？
当然是用降维了！降维是通过减少数据中的指标（或变量）以化简数据的过程。这里的减少指标，并不是随意加减，而是用复杂的数理知识，得到几个“综合指标”来代表整个数据。
PS：降维的原理涉及复杂数理知识且大多由计算机完成
那么问题来了！这个“综合指标”是什么？为什么它们就可以代表整个数据？
02
Why
主成分？
综合指标=主成分
你没有看错，这个综合指标就是我们今天的重点：主成分。它不是原来的指标中的任何一个，而是由所有原有指标数据线性组合而来。
比如A导的故事中的主成分就可这样表示：
认识了“主成分”以后，PCA的概念就很容易理解了！
PCA——就是以“降维”为核心，把多指标的数据用少数几个综合指标（主成分）替代，还原数据最本质特征的数据处理方式。
可是，主成分为什么拽到可以代替所有数据？
认真看看可以发现部分指标其实是相互关联的！（比如奖学金也可以反映绩点情况），这就会造成数据冗余。而降维就可以帮助我们去除这些指标中重叠、多余的信息，把数据最本质和关键的信息提取出来。
A导终于可以一眼就区分这5位考生的水平并“理智”地做出选择了！
03
如何计算
将学生成绩表示为矩阵形式，一行代表一个学生，每一列代表一门课的成绩
假设找到了一个线性组合(命名为特征矩阵(Yn, k))，其中k<n
得到一组新变量Pm, k = Xm, nYn, k，并且新变量的协方差矩阵(Dm, m)为对角阵。
设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设
设X的协方差矩阵为C(C为对角阵)，P的协方差矩阵为D，且Pm, k = Xm, nYn, k ,那么C与D是什么关系呢。
优化目标变成了寻找一个矩阵Y，满足YTCY是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么Y的前K列就是要寻找的基，用Y的前K列组成的矩阵乘以X就使得X从M维降到了K维并满足上述优化条件。
A导可是只有5位考生，9个指标而已！在我们医学中！那可是上千的样本量，上万的基因数据......
在医学领域中，我们可以用PCA图来进行疾病危险因素分析，肠道菌群聚类分析，推断肿瘤亚群之间的进化关系......还用它来观察样本的分组、趋势、剔除异常数据。
所以PCA图在文献中出现率还是蛮高的！！！不过遇到它我们怎么看？
深入了解PCA
识图秘籍
样本点连线距离长 =样本之间差异性大
样本点连线距离短 =样本之间差异性小
通过主成分分析方法(PCA)分析9种食物的蛋白质消耗量(变量)与25个欧洲国家(样本)之间的关系
由图可得，大部分欧洲国家蛋白摄入习惯是：吃鸡蛋、红肉（猪牛羊等畜肉）、白肉（禽、鱼肉及水产品），喝牛奶。
详细的解析来了！
1、各样本点连线的距离：体现各国家蛋白摄入习惯的相似性。
2、主成分与原变量之间的关系：箭头对应的原始变量在投影到水平和垂直方向上后的值，可以分别体现该变量与PC1和PC2的相关性（正负相关性及其大小）（例如，Eggs对PC1具有较大的贡献，而Nuts则与PC1之间呈较大的负相关性）。
3、样本点和箭头之间的距离：反映样本与原始变量的关系。（对于图中用蓝色粗箭头所指的样本点而言，该国的蛋白质来源主要为Fruits and Vegetables）。
怎么样？有没有一种豁然开朗的感觉？
什么？还是懵？
没关系，继续看例子
R语言PCA分析代码
R语言主成分分析(PCA)加“置信椭圆” - 简书 (jianshu.com)
