二分查找，是程序员入门必会的一个高效搜索算法。本文将对二分查找，以及时间复杂度等概念进行讲解。

1.什么是算法和时间复杂度

在计算机科学中，算法是指在有限时间内解决一个问题的一系列确定的指令。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2.二分查找

我们通过一道题来理解时间复杂度。有个整数x在1-100的范围内，每当你给出一个数y时，能够得到y比x大还是y比x小的信息。****你的任务是用尽可能少的次数猜到x的准确值。
最简单粗暴的做法：从1开始尝试，试到100。这种做法，最终一定能得到结果，但是，最坏的情况下，假如这个数刚好是100，需要试100次。这种方法也称为顺序查找。
聪明的做法：每次猜最中间的数，得到这个数比目标大还是小的结果后，在目标所在的区间继续猜中间的数。这样每次至少能排除一半的数。假如目标数是100，1到100存储在数组a[0]到a[99]中。
第一次从50开始猜，会告诉你小了，因此可以排除1-50之间的数，一下子排除了一半。
第二次猜75，会告诉你小了，排除51-75
第三次猜88，会告诉你小了，排除76-88
第四次猜94，会告诉你小了，排除89-94
第五次猜97，会告诉你小了，排除95-97
第六次猜99，命中。
我们猜的范围每次都能够减少一半，因此这个查找方式也被叫做二分查找，又称折半查找。它适用于有序数组中的查找。
二分查找的代码如下：

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3. 效率分析

由于二分查找每次都能够削减一半的范围，我们搜索的范围为100，小于2^7=128，因此最多只需要搜索7次就可以找到。

假设搜索的范围为1到n，那么，方案1的顺序查找最坏需要遍历n次，而方案二的二分查找法最坏需要遍历logn次。这个效率明显不是一个数量级的。例如n=100W时，穷举法需要100W次搜索，而二分查找只需要20次。

借助这个例子，我们可以引出时间复杂度的概念。一般来说，我们只考虑一个算法在最坏情况下的时间复杂度，因为他可以帮助我们粗略估计算法最长需要运行的时间。用大O来表示这个时间复杂度。

比如，方案1中的穷举法，对应的时间复杂度为O(n)。方案2的二分查找，对应的时间复杂度为O(logn)。除了这两种时间复杂度之外，还有O(1),O(n^2),O(nlogn)等时间复杂度，O(1)表示最坏情况在常数时间内。例如，一次简单的加法，简单的除法，数组中通过下标访问。

如果我们的程序中，有很多部分，其中有一些是O(1)的，有些是O(n)的，有些是O(logn)的。这种情况下，怎么估计程序的运行时间呢？最直接的，把他们加起来，T(n)=O(1)+O(n)+O(logn)。刚刚我们也提到了，方案1的穷举法比方案2的二分搜索要差很多，由于我们是要看最坏情况下程序的情况，所以，我们看耗时最久的，也就是T(n)=O(n)。这能够说明，O(n)这部分的算法占整个程序运行时间的大头。如果我们需要优化我们的代码，就要从这部分入手。当然，O(n)的复杂度其实已经算好的了，后面还有更复杂的，比如O(n^2 ),O(n^3)之类的复杂度。

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以这段代码为例子，

39-41行的循环中，循环n次，执行循环体需要O(1)的复杂度,总体是T(n)=O(n)O(1)=O(n)
42行，调用了二分搜索，复杂度为O(logn)
43-45行的循环中，循环n次，执行循环体需要O(logn)的复杂度，整体时间复杂度为T(n)=O(n)O(logn)=O(nlogn)
最终，整个程序总的时间复杂度为T(n)=O(n)+O(logn)+O(nlogn)=O(nlogn)，可以看出这段程序最耗时的部分是43-45行。

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