常见损失函数

损失函数

什么是损失函数

损失函数（Loss Function）又叫做误差函数，用来衡量算法的运行情况，估量模型的预测值与真实值的不一致程度，是一个非负实值函数，通常使用 $L(Y, f(x))$ 来表示。损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。

常见的损失函数

机器学习通过对算法中的目标函数进行不断求解优化，得到最终想要的结果。分类和回归问题中，通常使用损失函数或代价函数作为目标函数。
损失函数用来评价预测值和真实值不一样的程度。通常损失函数越好，模型的性能也越好。
损失函数可分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是在经验风险损失函数上加上正则项。
下面介绍常用的损失函数：

（1）0-1损失函数
如果预测值和目标值相等，值为0，如果不相等，值为1。
$L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& Y\ne f(x)\\ 0,& Y = f(x) \end{cases}$

一般的在实际使用中，相等的条件过于严格，可适当放宽条件：

$L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& |Y-f(x)|\geqslant T\\ 0,& |Y-f(x)|< T \end{cases}$

（2）绝对值损失函数
和0-1损失函数相似，绝对值损失函数表示为：
$L(Y, f(x)) = |Y-f(x)|$

（3）平方损失函数
$L(Y, f(x)) = \sum_N{(Y-f(x))}^2$

这点可从最小二乘法和欧几里得距离角度理解。最小二乘法的原理是，最优拟合曲线应该使所有点到回归直线的距离和最小。

（4）对数损失函数
$L(Y, P(Y|X)) = -\log{P(Y|X)}$

常见的逻辑回归使用的就是对数损失函数，有很多人认为逻辑回归的损失函数是平方损失，其实不然。逻辑回归它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），进而求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等。逻辑回归推导出的经验风险函数是最小化负的似然函数，从损失函数的角度看，就是对数损失函数。

（6）指数损失函数
指数损失函数的标准形式为：
$L(Y, f(x)) = \exp(-Yf(x))$

例如AdaBoost就是以指数损失函数为损失函数。

（7）Hinge损失函数
Hinge损失函数的标准形式如下：
$L(y) = \max{(0, 1-ty)}$

统一的形式：
$L(Y, f(x)) = \max{(0, Yf(x))}$

其中y是预测值，范围为(-1,1)，t为目标值，其为-1或1。

在线性支持向量机中，最优化问题可等价于

$\underset{\min}{w,b}\sum_{i=1}^N (1-y_i(wx_i+b))+\lambda\Vert w\Vert ^2$

上式相似于下式

$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}l(wx_i+by_i) + \Vert w\Vert ^2$

其中 $l(wx_i+by_i)$ 是Hinge损失函数， $\Vert w\Vert ^2$ 可看做为正则化项。

逻辑回归为什么使用对数损失函数

假设逻辑回归模型
$P(y=1|x;\theta)=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T}x}}$
假设逻辑回归模型的概率分布是伯努利分布，其概率质量函数为：
$P(X=n)= \begin{cases} 1-p, n=0\\ p,n=1 \end{cases}$
其似然函数为：
$L(\theta)=\prod_{i=1}^{m} P(y=1|x_i)^{y_i}P(y=0|x_i)^{1-y_i}$
对数似然函数为：
$\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{m}[y_i\ln{P(y=1|x_i)}+(1-y_i)\ln{P(y=0|x_i)}]\\ =\sum_{i=1}^m[y_i\ln{P(y=1|x_i)}+(1-y_i)\ln(1-P(y=1|x_i))]$
对数函数在单个数据点上的定义为：
$cost(y,p(y|x))=-y\ln{p(y|x)-(1-y)\ln(1-p(y|x))}$
则全局样本损失函数为：
$cost(y,p(y|x)) = -\sum_{i=1}^m[y_i\ln p(y_i|x_i)+(1-y_i)\ln(1-p(y_i|x_i))]$
由此可看出，对数损失函数与极大似然估计的对数似然函数本质上是相同的。所以逻辑回归直接采用对数损失函数。

对数损失函数是如何度量损失的

例如，在高斯分布中，我们需要确定均值和标准差。
如何确定这两个参数？最大似然估计是比较常用的方法。最大似然的目标是找到一些参数值，这些参数值对应的分布可以最大化观测到数据的概率。
因为需要计算观测到所有数据的全概率，即所有观测到的数据点的联合概率。现考虑如下简化情况：

（1）假设观测到每个数据点的概率和其他数据点的概率是独立的。

（2）取自然对数。
假设观测到单个数据点 $x_i(i=1,2,...n)$ 的概率为：
$P(x_i;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

（3）其联合概率为：
$P(x_1,x_2,...,x_n;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ \times \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \times ... \times \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp \left( - \frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)$
对上式取自然对数，可得：
$\ln(P(x_1,x_2,...x_n;\mu,\sigma))= \ln \left(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_1-\mu)^2}{2\sigma^2} \\ + \ln \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_2-\mu)^2}{2\sigma^2} +...+ \ln \left( \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \right) - \frac{(x_n-\mu)^2}{2\sigma^2}$
根据对数定律，上式可以化简为：
$\ln(P(x_1,x_2,...x_n;\mu,\sigma))=-n\ln(\sigma)-\frac{n}{2} \ln(2\pi)\\ -\frac{1}{2\sigma^2}[(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+...+(x_n-\mu)^2]$
然后求导为：
$\frac{\partial\ln(P(x_1,x_2,...,x_n;\mu,\sigma))}{\partial\mu}= \frac{n}{\sigma^2}[\mu - (x_1+x_2+...+x_n)]$
上式左半部分为对数损失函数。损失函数越小越好，因此我们令等式左半的对数损失函数为0，可得：
$\mu=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$
同理，可计算 $\sigma $ 。

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