简介
主成分分析（principal component analysis，PCA）可能是应用最广泛的无监督算法之一。PCA是一种非常基础的降维算法，尤其适用于数据可视化、噪音过滤、特征抽取和特征工程等领域。
举个例子，探索x、y变量之间的相关性：
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns; sns.set()
rng = np.random.RandomState(1)
X = np.dot(rng.rand(2, 2), rng.randn(2, 200)).T
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.axis('equal');
plt.show()
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
pca.fit(X)
print(pca.components_)
print(pca.explained_variance_)
def draw_vector(v0, v1, ax=None):
ax = ax or plt.gca()
arrowprops=dict(arrowstyle='->',
linewidth=2,
shrinkA=0, shrinkB=0)
ax.annotate('', v1, v0, arrowprops=arrowprops)
plt.cla()
# plot data
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.2)
for length, vector in zip(pca.explained_variance_, pca.components_):
v = vector * 3 * np.sqrt(length)
draw_vector(pca.mean_, pca.mean_ + v)
plt.axis('equal');
使用PCA降维，比较一下原始数据和数据降维后的逆变换。
pca = PCA(n_components=1)
pca.fit(X)
X_pca = pca.transform(X)
print("original shape: ", X.shape)
print("transformed shape:", X_pca.shape)
X_new = pca.inverse_transform(X_pca)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.2)
plt.scatter(X_new[:, 0], X_new[:, 1], alpha=0.8)
plt.axis('equal');
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处理手写数字的例子
从64维降低到2维：
from sklearn.datasets import load_digits
digits = load_digits()
print(digits.data.shape)
pca = PCA(2)
projected = pca.fit_transform(digits.data)
print(digits.data.shape)
print(projected.shape)
plt.scatter(projected[:, 0], projected[:, 1],
c=digits.target, edgecolor='none', alpha=0.5,
cmap=plt.cm.get_cmap('Spectral', 10))
plt.xlabel('component 1')
plt.ylabel('component 2')
plt.colorbar();
pca = PCA().fit(digits.data)
plt.plot(np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))
plt.xlabel('number of components')
plt.ylabel('cumulative explained variance');
#这个曲线量化了在前 N 个主成份中包含了多少总的 64 维的方差
画出了累计方差贡献率，查看多少成分可以包含足够（90%）的方差。
a0eb0f779c7f473c9a42e94f201b376c.png
可以做噪音过滤：
def plot_digits(data):
fig, axes = plt.subplots(4, 10, figsize=(10, 4),
subplot_kw={'xticks':[], 'yticks':[]},
gridspec_kw=dict(hspace=0.1, wspace=0.1))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
ax.imshow(data[i].reshape(8, 8),
cmap='binary', interpolation='nearest',
clim=(0, 16))
plot_digits(digits.data)
np.random.seed(42)
noisy = np.random.normal(digits.data, 4)
plot_digits(noisy)
pca = PCA(0.50).fit(noisy)
pca.n_components_
components = pca.transform(noisy)
filtered = pca.inverse_transform(components)
plot_digits(filtered)
409b1210a72c442480ac2750fae52d11.png
特征脸案例
使用Randomlized PCA随机方法来估计前150个主成分。
- 画出前几个主成分
- 累计方差图，查看多少个成分对方差的贡献
- 使用150个主成分重构图像
from sklearn.datasets import fetch_lfw_people
faces = fetch_lfw_people(min_faces_per_person=60)
print(faces.target_names)
print(faces.images.shape)
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(150,svd_solver='randomized')
pca.fit(faces.data)
fig, axes = plt.subplots(3, 8, figsize=(9, 4),
subplot_kw={'xticks':[], 'yticks':[]},
gridspec_kw=dict(hspace=0.1, wspace=0.1))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
ax.imshow(pca.components_[i].reshape(62, 47), cmap='bone')
plt.show();plt.cla();
plt.plot(np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))
plt.xlabel('number of components')
plt.ylabel('cumulative explained variance');
# plt.show();plt.cla();
pca = PCA(150,svd_solver='randomized').fit(faces.data)
components = pca.transform(faces.data)
projected = pca.inverse_transform(components)
# Plot the results
fig, ax = plt.subplots(2, 10, figsize=(10, 2.5),
subplot_kw={'xticks':[], 'yticks':[]},
gridspec_kw=dict(hspace=0.1, wspace=0.1))
for i in range(10):
ax[0, i].imshow(faces.data[i].reshape(62, 47), cmap='binary_r')
ax[1, i].imshow(projected[i].reshape(62, 47), cmap='binary_r')
ax[0, 0].set_ylabel('full-dim\ninput')
ax[1, 0].set_ylabel('150-dim\nreconstruction');
4890f5479fdf4dfa93881110faecebaa.png
总结
- 高维数据处理的一条直接和有效的路径。
- PCA变体方法例如RandomlizedPCA、SparsePCA等。
参考：
[1]美 万托布拉斯 (VanderPlas, Jake).Python数据科学手册[M].人民邮电出版社,2018.
在线版：PythonDataScienceHandbook
