第12章工具变量回归

工具变量（instrumental variable，IV）回归是当回归变量 $X$ 与误差项 $u$ 相关时获得总体回归方程未知系数一致估计量的一般方法

为了理解IV回归是如何工作的，将 $X$ 中的变化视作是由两部分组成的：其中一部分不管是何原因与 $u$ 相关，而第二部分与 $u$ 无关

一、单个回归变量和单个工具变量的IV估计量

联系因变量 $Y_i$ 和回归变量 $X_i$ 的总体回归模型为 $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i,\quad i=1,2,...,n$ ，其中 $u_i$ 为代表决定 $Y_i$ 遗漏因素的误差项

若 $X_i$ 和 $u_i$ 相关，则OLS估计量是非一致的，可利用另一个工具变量 $Z$ 分离出 $X$ 中与 $u_i$ 不相关的部分

模型中与误差项相关的变量称为内生变量（endogenous variable）而与误差项不相关的变量称为外生变量（exogenous variable）

一个有效的工具变量必须满足称为工具变量相关性（instrument relevance）和工具变量外生性（instrument exogeneity）的两个条件，即：

①工具变量相关性： $corr(Z_i,X_i)\ne 0$

②工具变量外生性： $corr(Z_i,u_i)=0$

若工具变量 $Z$ 满足工具变量的相关性和外生性条件，则可用两阶段最小二乘（two stage least squares，TSLS）的IV估计量估计系数 $\beta_1$

①第一阶段把 $X$ 分解成两部分，即与回归误差相关的会引发问题的一部分，以及与误差项无关的不会引发问题的一部分；

②第二阶段利用没有问题的一部分估计 $\beta_1$

第一阶段从如下联系 $X$ 和 $Z$ 的总体回归开始： $X_i=\pi_0+\pi_1Z_i+v_i$ ，利用OLS估计时取预测值 $\hat{X}_i=\hat{\pi}_0+\hat{\pi}_1Z$

第二阶段利用OLS建立 $Y_i$ 关于 $\hat{X}_i$ 的回归，由此得到的即是TSLS估计量 $\hat{\beta}_0^{TSLS}$ 和 $\hat{\beta}_1^{TSLS}$

如果工具变量是有效的，则 $\beta_1=\frac{cov(Z_i,Y_i)}{cov(Z_i,X_i)}$

二、一般IV回归模型

工具变量个数和内生回归变量个数之间的关系很重要，记工具变量个数为 $m$ ，内生变量个数为 $k$

① $m=k$ ，恰好识别（exactly identified）

② $m>k$ ，过度识别（over identified）

③ $m<k$ ，不可识别（under identified）

如果要用IV回归估计系数，那么系数必须是恰好识别或过度识别的

两阶段最小二乘法

包含多个工具变量的一般IV回归模型的TSLS估计量计量分以下两个阶段：

①第一阶段回归（first-stage regression）：利用OLS建立 $X_{1i}$ 关于工具变量和外生变量 $W$ 的回归，计算这个回归的预测值 $\hat{X}_{1i}$ ，并对所有的内生变量 $X_{2i},...,X_{ki}$ 重复这一过程，由此得到预测值 $\hat{X}_{1i},\hat{X}_{2i},...,\hat{X}_{ki}$

②第二阶段回归（second-stage regression）：利用OLS建立 $Y_i$ 关于内生变量预测值 $(\hat{X}_{1i},\hat{X}_{2i},...,\hat{X}_{ki})$ 和外生变量 $W$ 的回归，得TSLS估计量

工具变量有效的两个条件：

①工具变量相关性

预测值和外生变量不是完全多重共线的

②工具变量外生性

工具变量与误差项不相关

IV回归假设：

① $\mathbb{E}(u_i|W_i)=0$

② $(X,W,Z,Y)$ 是从它们的联合分布中抽取的i.i.d.样本

③异常值不太可能出现，即 $X,W,Z,Y$ 都有非零有限四阶矩

④工具变量有效的两个条件成立

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二、一般IV回归模型

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