概率论

示性函数I_{A}(\omega)

示性函数

Semi - algebras, Algebras, and \sigma- algebras
Semi - algebras [a, b)
Algebras 有限次运算
\sigma- algebras 无穷次运算

special \sigma-algebra：

  • Trivial \sigma-algebra
  • Power set
  • The smallest \sigma-algebra containing A(生成)

测度论 Measure Theory
可测空间measurable space (\Omega, \mathcal{A})
测度空间measure space (\Omega, \mathcal{A}, \mu)

测度\mu

  • \mu(\varnothing)= 0
  • 非负性([0, +\infty))
  • 可列可加性

测度\mu是一个集函数。

可以先定义半代数，在生成代数、\sigma代数。
半代数——>代数
代数——>\sigma代数(Caratheodory Extension Theorem)

方法：(内)外测度夹击。

外测度\mu^{*}

  • \mu^{*}(\varnothing)= 0
  • 单调性
  • 次可列可加性

概率论 Probability Theory

\Omega
\mathcal{F}：\sigma- algebra
[1\Omega有限或者可列，通常取\Omega一切子集作为事件域[2^{n}个事件]。
2\Omega连续，一(n)维博雷尔点集合。]
可测空间(\Omega, \mathcal{F})
概率空间(\Omega, \mathcal{F}, P)
A表示事件，是\Omega的子集(subset)。
概率P是衡量\sigma域(\sigma- algebra)中元素(事件)可能性大小的一个量。
P:\mathcal{F} \rightarrow [0,1]

概率是测度中的一种。

性质：

  • 非负性([0, +\infty))
  • 规范性P(\Omega)=1
  • 可列可加性

上连续、下连续 (可列可加性=有限可列可加性+下连续性)
概率空间完备化complete (P-零集的子集不一定是事件)
上极限、下极限 (极限存在上极限等于下极限)

随机变量X(\omega)


Approximations of r.v. by simple r.v.s

simple random variable

条件期望
期望：
EX = \int_{-\infty}^{\infty}xdF(x)
EX = \int_\Omega X(\omega)dP= \int_\Omega X(\omega)P(d\omega)
条件期望：

独立性

收敛性

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