【问题描述】 面试题 08.11.硬币
硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)
示例1:
输入: n = 5
输出：2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1
【解答思路】
1. 动态规划 二维数组
1.1 令 dp[i][j] 为遍历到当下这个硬币时，组成金额 j 的方法数目
1.2 有两种可能性
（1）当前这个硬币没有取，dp[i][j]=dp[i-1][j]；
（2）当前这个硬币取了，dp[i][j]=dp[i][j-coins[i]]。最后的结果是两者的和
1.3 将状态转移方程翻译成代码，并处理边界条件
时间复杂度：O(NM) 空间复杂度：O(NM)
N ：金额 M：硬币类型
class Solution {
public int waysToChange(int n) {
if (n < 5)
return 1;
if (n == 5)
return 2;
int[] coins = {1, 5, 10, 25};
int[][] dp = new int[4][n + 1];
// 当数量为0，1时，有1种表示法
for(int i = 0; i < 4; ++i){
dp[i][0] = 1;
dp[i][1] = 1;
}
// 当只有一种硬币时，只有1种表示法
for(int i = 0; i <=n; ++i)
dp[0][i] = 1;
/*
* 状态：dp[i][j]表示[0...i]种硬币能组合为j的所有不同种数
* 状态转移：取 或 不取 当前硬币coins[i]
*/
for (int i = 1; i < 4; ++i) {
for (int j = 2; j <= n; ++j) {
if (j >= coins[i])
dp[i][j] = (dp[i][j - coins[i]] + dp[i - 1][j]) % 1000000007;
else
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
return dp[3][n];
}
}
2. 动态规划优化 一维数组
从上面的状态转移方程可以看出，dp[i][j]只与dp[i-1][j]和dp[i][j-coins[i]]有关，所以完全可以把第一个维度除掉，只用一个一维数组存储
时间复杂度：O(MN) 空间复杂度：O(N)
N ：金额 M：硬币类型
public int waysToChange2(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
int[] coins={1,5,10,25};
for(int i=0;i<=n;i++)
dp[i]=1;
for(int i=1;i<4;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(j>=coins[i])
dp[j]=(dp[j]+dp[j-coins[i]])%1000000007;
}
}
return dp[n];
}
【总结】
1. 动态规划流程
第 1 步：设计状态
第 2 步：状态转移方程
第 3 步：考虑初始化
第 4 步：考虑输出
第 5 步：考虑是否可以状态压缩
2. 数组初始化
- 一维数组
int[] arrays = {1, 2, 3, 4, 5}; //简化
int[] arrays = new int[]{1, 2, 3, 4, 5}; //完整格式 推荐
- 二维数组
3.DFS 全排思想（顺序有关） 不可以 无序方案
- n = 6 时 ，输出次数3（实际2）
- 1 1 1 1 1 1
- 5 1
- 1 5（重复）
private int[] money = new int[]{1,5,10,25};
private int count = 0;
public int waysToChange(int n) {
if(n<5){
return 1;
}
int i=0;
conutSort(i,n);
return count;
}
void conutSort(int i,int n){
if(i>n){
return ;
}
if(i==n){
count++;
count = count % 1000000007;
}
if(i <n){
for(int j= 0 ;j<4;j++){
conutSort( money[j]+i, n);
}
}
}
