线代--特征值与特征向量[1]

特征值和特征向量 也是方阵的一个属性，它们是把一个矩阵当作变换 作用来看的时候这个矩阵所拥有的一些 “特征”，这些“特征”由特征值和特征向量所反映。

对于一个变换矩阵 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ ，当左乘一个向量 $\vec u$ 的时候， $A \cdot \vec u =\vec u^{'}$ 表示把向量从一个位置转换到空间的另一个位置，这个过程从空间的基来理解的话则表示矩阵 $A$ 的所表示的空间的一组基 $(4,1) , (-2,1)$ 与标准基之间的基变换或是坐标系转换。

而在这个变换过程中，存在一些特殊的向量，如对于变换矩阵 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ 所代表的变换，存在向量 $\vec u = (2,2)$ ，该向量在矩阵 $A$ 的变换下 $A \cdot \vec u = \vec u' = (4,4)$ ， $\vec u'$ 与变换前的 $\vec u$ 相比，方向上未发生改变，仅仅只是对原向量 $\vec u$ 进行了缩放 $\vec u' = 2 \vec u$ :

特征值和特征向量的定义

对于在矩阵 $A$ 的变换下，向量变换后得到的结果向量方向并没有发生改变，只是原来向量的某一个常数 $k$ 倍，即
$A \cdot \vec u = \lambda \cdot \vec u$ 式中， $A$ 是转换矩阵， $\vec u$ 是被转换向量， $\lambda$ 是常数(可以取负数)。当常数 $\lambda$ 取负数的时候，意味着变换前后的两个向量方向相反，但是它们还是共线向量，也可以称为同向向量。

对于满足关系式 $A \cdot \vec u = \lambda \cdot \vec u \ \ \$ 的 $\lambda$ 和 $\vec u$ 则称:

$\color {red} \lambda$ 称为矩阵A的特征值 $\color {red} {(eigenvalue)}$

$\color {red} {\vec u}$ 称为矩阵A对应于 $\color {red} \lambda$ 的特征向量 $\color {red} {(eigenvector)}$

求解特征值和特征向量

假设变换矩阵为 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$
求解变换矩阵 $A$ 的特征值和特征向量即求解方程 $A \vec u = \lambda \vec u$ ，这个方程涉及两个未知量 $\vec u$ 和 $\lambda$ :

首先，如果 $\vec u = O$ ，即 $\vec u$ 是一个零向量，则一定满足方程，这个零解是一个平凡解，意味着不管矩阵 $A$ 如何变化， $\vec u = O$ 永远是方程 $A \vec u = \lambda \vec u$ ，所以特征向量的零解没有意义，求解特征向量不考虑 $\color {red} {\small 零向量}$ 。
而对于求解的特征值，如果求解出一个 $\lambda = 0$ ，这个解不是一个平凡解， $\lambda = 0$ 意味着方程 $A \vec u = 0$ 是一个齐次线性系统,对于一个齐次线性系统只可能有唯一零解或无穷解，因为 $\vec u$ 不能取零向量，所以 $A \vec u = 0$ 一定有无穷解，那么意味着特征值 $\lambda = 0$ 反映出变换矩阵 $A$ 一定不可逆的特征 (矩阵 $A$ 可逆则 $A \vec u = 0$ 只有唯一零解) ，并不是任何一个矩阵都存在特征值 $\lambda = 0$ 。

进一步的解方程 $A \vec u = \lambda \vec u$

$A \vec u = \lambda \vec u \to A \vec u - \lambda \vec u =0$ ，这里涉及矩阵与常数的减法，引入单位矩阵 $I$ 处理 $A \vec u \cdot I = \lambda \vec u \cdot I$
$A \vec u - \lambda I \vec u = 0$ 变形得到 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$

step.1 变换矩阵 $A$ 的特征方程，解特征值

对于线性系统 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$ ，我们希望最后求解的特征向量 $\vec u$ 有非零解，因为零解是一个平凡解，无意义。因此对于系数矩阵 $(A - \lambda I)$ 要求是一个不可逆矩阵，矩阵可逆，意味着该系统只有唯一零解。根据行列式的内容可知如果矩阵不可逆意味着它的行列式的值为0，所以，转而求解 $\det (A - \lambda I)=0$ ，这个方程只含有一个未知量 $\lambda$ ，称为变换矩阵 $A$ 的特征方程：

示例:
$\det (A - \lambda I)= \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 \\1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) -(1\times-2) =\lambda^{2} -5\lambda +6$
$\det (A - \lambda I) = \lambda^{2} -5\lambda +6 = 0$
解的 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

step.2 解特征向量

求出了矩阵的特征值，就可以代入 $\lambda$ 到线性系统 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$ 进一步求解出特征向量 $\vec u$ ：

① 当 $\lambda_1 = 2$
$\ \ \$ 代入线性系统可得 $(A - 2I) \cdot \vec u = 0$ ，求解这个线性系统的非零解
$\ \ \$ 系数矩阵为 $(A - 2I) = \begin{bmatrix} 4-2 & -2 \\1 & 1-2 \end{bmatrix}$ ，执行高斯消元化为一般行最简形式
$\ \ \$ 方程变为 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0&0 \end{bmatrix} \cdot \vec u = 0$

根据零空间的知识，这个方程的解 $\vec u$ 其实就是矩阵 $(A - 2I)$ 的零空间的内的向量，
由系数矩阵 $(A - 2I)$ 的行最简形式 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 可知自由列有一列，那么它的零空间的基就只有一个可以写成 $\vec p =\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
所以方程的解，也即变换矩阵 $A$ 的特征向量 $\vec u$ 就可以表示为 $\vec u = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot k$ ， $k$ 可以取任意非零常数

② 当 $\lambda_2 = 3$
$\ \ \$ 计算步骤同①
$\ \ \$ 系数矩阵高斯消元化为行最简形式，方程变为 $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0&0 \end{bmatrix} \cdot \vec u = 0$
可解的系数矩阵 $(A - 3I)$ 的零空间的基为 $\vec p =\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，变化矩阵A对应与 $\lambda_2$ 的特征向量表示 $\vec u = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot k$ ， $k$ 可以取任意非零常数。

最后编辑于：2023.01.17 15:42:52

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 216,496评论 6赞 501
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,407评论 3赞 392
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 162,632评论 0赞 353
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 58,180评论 1赞 292
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 67,198评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,165评论 1赞 299
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,052评论 3赞 418
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,910评论 0赞 274
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,324评论 1赞 310
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,542评论 2赞 332
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,711评论 1赞 348
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,424评论 5赞 343
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,017评论 3赞 326
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,668评论 0赞 22
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,823评论 1赞 269
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,722评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,611评论 2赞 353

线代--特征值与特征向量[1]

特征值和特征向量的定义

求解特征值和特征向量

进一步的解方程

step.1 变换矩阵的特征方程，解特征值

step.2 解特征向量

推荐阅读更多精彩内容

进一步的解方程 $A \vec u = \lambda \vec u$

step.1 变换矩阵 $A$ 的特征方程，解特征值