几类常见优化问题的对偶问题

以下列举一些常见优化问题的对偶问题的形式

线性规划

考虑不等式形式的线性规划：它的对偶函数：

从而：

所以它的对偶问题是：

以上是不等式形式的对偶。接下来考虑标准形式的线性规划：对偶函数：

对偶问题：

也可以写成：

锥形式下线性规划标准形式的对偶。

也可以写成不等式形式：
线性规划的不等式形式的对偶问题的形式是等式，而线性规划的等式形式的对偶问题的形式可以写成不等式。

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考虑问题：

拉格朗日函数：

从而有对偶函数：

对偶问题：

这是一个无约束的凹函数最大化问题！（自然可以转化为无约束的凸优化问题）。从而我们知道，原问题是约束优化问题，对偶问题可能是无约束的问题！

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考虑QCQP：

拉格朗日函数：

其中：

在时，是正定的，从而：

所以有对偶问题：