为什么样本方差除以n-1？

开始来点基本背景

总体方差（variance）：总体中变量离其平均值距离的平均。一组数据 $x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ...x_{N}$

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i =1}^N(x_i-\mu ) ^2}{N}$

样本方差（variance）：样本中变量离其平均值距离的平均。一组数据 $x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ...x_{n}$

$S^2 = \frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n-1}$

到这你可能会想：为什么样本方差中分母是 $n-1$ 而不是 $n$ ，好我们假设是 $n$ 看看会怎样：

$\frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n [(x_i-\mu ) +(\mu -\bar{x} )]^2$

$=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu ) ^2 +\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\mu -\bar{x} )^2 +\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu ) (\mu -\bar{x} )$

$=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu ) ^2 +2(\bar{x} -\mu )(\mu -\bar{x} ) + (\mu -\bar{x} )^2$

$=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu ) ^2 -(\bar{x}-\mu)^2$

从上式可以看出除非： $\mu =\bar{x}$ 。否则一定有：

$\frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n} <\sigma^2 = \frac{\sum_{i =1}^N(x_i-\mu ) ^2}{N}$

再想为什么除以 $n-1$ 而不是 $n-2，n-3$ ？？？请看：

$E(\bar{x} ) = E(\frac{1}{n } \sum_{i=1}^nx_{i} ) = \frac{1}{n } \sum_{i=1}^nE(x_{i} ) = \mu$

$E(\bar{x}-\mu)^2 = E(\bar{x}-E(\bar{x} ))^2 = var(\bar{x} )$

$\frac{1}{n^2 } var( {\sum_{i=1}^nx_i }) = \frac{1}{n^2 } {\sum_{i=1}^nvar(x_i )} = \frac{n\sigma ^2}{n^2 }$

$=\frac{\sigma ^2}{n }$

$E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu ) ^2 -(\bar{x}-\mu)^2)=\sigma ^2 - \frac{1}{n}\sigma ^2$

$=\frac{n-1}{n}\sigma ^2$

所以有 $\frac{n}{n-1}E( \frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n}) = E( \frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n-1}) = \sigma ^2$ 即

$S^2 = \frac{\sum_{i =1}^n(x_i-\bar{x} ) ^2}{n-1}$

而且我们可以直观的看到随着样本总量 $n$ 的增大， $S^2$ 会越接近 $\sigma ^2$ 。

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