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欧式空间归纳

欧式空间归纳

10.2设 $\alpha$ 为欧式空间 $V$ 的一个非零向量， $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in V$ 且 $(\alpha_i,\alpha)>0,(\alpha_i,\alpha_j)\leq 0,i,j=1,2,\ldots,i\not=j$ 证明： $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 线性无关
典型的处理方式：不妨假设有一组 $k_i$ 使得 $\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i=0$ 不妨设前 $r$ 个 $k_i$ 均非负，而后面的均非正，那么 $\sum_{i=1}^rk_i\alpha_i=-\sum_{i=r+1}^nk_i\alpha_i=\beta$ 考虑 $(\beta,\beta)\geq 0$ 又 $(\beta,\beta)\leq0$ 得到 $\beta=0$

10.4(1)设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 为一组线性无关的列向量，经施密特正交化为 $\beta_1,\ldots,\beta_m$ 记 $G(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ 为度量矩阵，则 $|G(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)|=|G(\beta_1,\ldots,\beta_m)|=||\beta_1||^2||\beta_2||^2\ldots||\beta_m||^2$
(2)设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实矩阵，求证 $|A|^2\leq\prod_{j=1}^n\sum_{i=1}^na_{ij}^2$
提示：待解决

10.7设 $W_1,W_2$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间， $dimW_1=n_1<n_2=dimW_2$ 证明存在 $0\not=\alpha\in W_2,\alpha\bot W_1$
提示：使用维数公式， $dim(W_2\cap W_1^{\bot})=dim(W_2)+dim(W_1^\bot)-dim(W_2+W_1^\bot)\geq n_2+n-n_1-n\geq 1$

10.8设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $\alpha$ 是 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R^n}$ 中的非零向量，且对 $\mathbb{R^n}$ 中与 $\alpha$ 正交的任一非零 $x$ 向量均有 $x^TAx>0$ 证明存在正数 $\lambda_0$ 使得 $\lambda>\lambda_0$ 时 $A+\lambda\alpha\alpha^T$ 是正定矩阵。

10.9 $V$ 是所有实对称矩阵构成的线性空间，定义内积 $(P,Q)=tr(P'Q),||P||^2=(P,P)$ 对于半正定矩阵 $P,Q$ 令 $R=P+Q$ 证明： $||PQ||\leq\frac{||R||^2}{\sqrt{2}}$
待解决

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