2018-08-20

连续时间系统的时域分析（下）

卷积积分
- 1、阶跃响应求解 - 杜阿美积分
- $e(t) = e(0)\varepsilon (t) + \int_{0^{+}} ^{t}e'(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau$
- 系统对阶跃信号的响应:
  - $\varepsilon(t-\tau)\to r_{\varepsilon}(t-\tau)$ 时不变
  - $e'(\tau)\varepsilon(t-\tau)\to e'(\tau) r_{\varepsilon}(t-\tau)$ 齐次性
  - $\int_{0^{+}}^t e'(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau\to \int_{0^{+}}^t e'(\tau) r_{\varepsilon}(t-\tau)d\tau$ 叠加
  - $e(0)\varepsilon(t) + \int_{0^{+}}^t e'(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau\to e(0)r_{\varepsilon}(t)+\int_{0^{+}}^t e'(\tau) r_{\varepsilon}(t-\tau)d\tau$
  - $e(t)\to e(0)r_{\varepsilon}(t) +\int_{0^{+}}^t e'(\tau) r_{\varepsilon}(t-\tau)d\tau$ -杜阿美积分
  - 如果得到系统的阶跃响应，通过杜阿美积分，就可以计算系统对任意连续可导的信号的响应
  - 如果激励信号在 $t = 0$ 处可导，则上式为：
  - $e(t)\to\int_{0^{+}}^t e'(\tau) r_{\varepsilon}(t-\tau)d\tau$
  - 变换积分变量
  - $e(t)\to e(0)r_{\varepsilon}(t)+\int_{0^{+}}^t e'(t-\tau) r_{\varepsilon}(\tau)d\tau$
  - 信号需要连续可导
- 2、冲激响应的积分：
- $e(t) = \int_{0}^{t}e(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
- 系统对冲激信号的响应：
  - $\delta(t-\tau)\to h(t-\tau)$ 时不变
  - $e(\tau)\delta(t-\tau)\to e(\tau)h(t-\tau)$ 齐次性
  - $\int_{0}^{t}e(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\to \int_{0}^{t}e(\tau)h(t-\tau)d\tau$ 叠加性
  - $e(t)\to \int_{0}^{t}e(\tau)h(t-\tau)d\tau$ 卷积积分，不需要信号连续可导
- 卷积积分表示为：
- $x(t) \ast y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)y(t-\tau)d\tau$
- $r(t) = e(t) \ast h(t)$
卷积及其性质
- 反摺 $\to$ 平移 $\to$ 相乘 $\to$ 叠加
- 性质
  - 交换律 $u(t) * v(t) = v(t) *u(t)$
  - 分配律 $u(t) *(v(t) +w(t)) = u(t) * v(t) +u(t) *w(t)$
  - 结合律 $u(t) * v(t) +u(t) *w(t) =u(t) *(v(t) +w(t))$
  - 微分 $\frac{d}{dt}[u(t) * v(t)] = [\frac{d}{dt}u(t)] * v(t) = u(t) * [\frac{d}{dt}v(t)]$
  - 积分 $\int_{-\infty}^{t} u(\tau) * v(\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{t}u(\tau)d\tau * v(t) = u(t) * \int_{-\infty}^tv(\tau)d\tau$
  - 多重微积分: $u(t)^{<m>} * v(t)^{<n>} = [u(t) *v(t)]^{<m+n>}$
  - 函数延时后的卷积
    - 假设: $u(t) * v(t) = f(t)$
    - 则： $u(t - t_{1}) *v(t - t_2) = f(t - t_1 - t_2)$
- 特殊函数的卷积
  - 1、 $f(t) * \delta(t) = f(t)$
  - $f(t) * \delta(t-t_0) = f(t-t_0)$
  - 2、 $f(t) * \delta'(t) = f'(t)$
  - $f(t) * \delta'(t - t_0) = f'(t - t_0)$
  - $f(t) * \delta^{(n)}(t - t_0) = f^{(n)}(t - t_0)$
  - 3、 $f(t) * \varepsilon (t) = \int_{-\infty}^tf(\tau)d\tau$
阶跃响应和冲激响应
- 阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应 $h(t)$
- 冲激响应：系统对冲激信号的零状态响应 $r_{\varepsilon}(t)$
- $h(t) = \frac{d}{dt}r_s(t) , r_s(t) = \int_{0^-}^{t}h(\tau)d\tau$
- $t = 0$ 时刻可能发生状态的跳变，所以必须对 $t = 0$ 左右的状态加以区分， $0^-,0^+$ 初始状态
- $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$ 信号可以分解为多个信号的积分，如果知道信号对 $\delta(t)$ 的响应，利用线性移不变系统的线性和移不变特性，就可以得到系统对任意子信号 $f(\tau)\delta(t-\tau)$ 的响应，从而就得到系统对整个信号的响应。
- 冲激响应的系统方程求解方法 - 系统方程法（Heaviside部分分式分解方法）
  - 一阶系统的冲激响应的求解
    - $h'(t) - \lambda h(t) = k\delta(t)$
    - 或用算子表示 $h(t) = \frac{k}{p-\lambda}\delta(t)$
    - $e^{-\lambda t}h'(t) - \lambda e^{-\lambda t}h(t) = e^{-\lambda t} k\delta(t)$
    - $(e^{-\lambda t}h(t))' = ke^{-\lambda t}\delta(t)$
    - $\int_{0^-}^t\frac{d}{d\tau}(e^{-\lambda \tau}h(\tau))d\tau = \int_{0^-}^tke^{-\lambda\tau}\delta(\tau)d\tau$
    - $= e^{-\lambda t}h(t) - h(0) = k\varepsilon(t)$
    - $= h(t) = k\varepsilon(t)e^{\lambda t}$ (零状态 $h(0) = 0$ )
    - $h(t) = \frac{k}{p-\lambda}\delta(t) = ke^{\lambda t}\varepsilon(t)$
    - 一般系统的特征根 $D(p) = 0$ 无重根
    - $\frac{(b_mp^m + b_{m-1}p^{m-1} + ...+b_1p+b_0)}{(p^n +a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p + a_0)} = \frac{N(p)}{D(p)}$
    - $\frac{(b_mp^m + b_{m-1}p^{m-1} + ...+b_1p + b_0)}{(p-\lambda_1)(p-\lambda_2)...(p-\lambda_n)}$
    - 一般使用Heaviside部分分式分解法,其基本原理等同于LT法,它将复杂系统变为许多简单系统的和。
      - $m < n$
        
        $H(p) = \frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_2)} + ...+ \frac{k_n}{(p- \lambda_n)}$
        
        $h(t) = H(p)\delta(t)$
        
        $= [\frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_2)} + ...+ \frac{k_n}{(p- \lambda_n)}]\delta(t)$
        
        $= \frac{k_1}{(p-\lambda_1)}\delta(t)+\frac{k_2}{(p-\lambda_2)}\delta(t) +...+\frac{k_n}{(p- \lambda_n)}\delta(t)$
        
        $= k_1e^{\lambda_1t}\varepsilon(t) + k_2e^{\lambda_2t}\varepsilon(t)+...+ k_ne^{\lambda_nt}\varepsilon(t)$
      - $m = n$
        
        $H(p) = C_m +\frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_2)} + ...+ \frac{k_n}{(p- \lambda_n)}$
        
        $= [C_m +\frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_2)} + ...+ \frac{k_n}{(p- \lambda_n)} ] \delta(t)$
        
        $= C_m\delta(t) + k_1e^{\lambda_1t}\varepsilon(t) + k_2e^{\lambda_2t}\varepsilon(t)+...+ k_ne^{\lambda_nt}\varepsilon(t)$
      - $m > n$
        
        $H(p) = C_mp^{m-n} + C_{m-1}p^{m-n-1} + ... + C_{n+1}p +C_n +\frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_2)} + ...+ \frac{k_n}{(p- \lambda_n)}$
        
        $H(t) = C_m\delta^{(m-n)}(t) +C_{m-1}\delta^{(m-n-1)}(t) + C_n\delta (t) + k_1e^{\lambda_1t}\varepsilon(t) + k_2e^{\lambda_2t}\varepsilon(t)+...+ k_ne^{\lambda_nt}\varepsilon(t)$
    - 一般的系统,系统的特征根的根有重根
      - $m < n$
      - $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_l \neq \lambda_{l + 1} \neq \lambda_{l + 2}...\neq \lambda_n$
      - $H(p) = \frac{k_1}{(p-\lambda_1)} + \frac{k_2}{(p-\lambda_1)^2} + ... + \frac{k_l}{(p-\lambda_1)^l} + \frac{k_{l + 1}}{(p - \lambda_{l + 1})} + \frac{k_{l + 2}}{(p - \lambda_{l + 2})} + ...+ \frac{k_{n}}{(p - \lambda_{n})}$
      - $\frac{k}{(p-\lambda)^2}\delta(t ) = kte^{\lambda t}\varepsilon(t)$
      - $\frac{k}{(p-\lambda)^3}\delta(t) = k\frac{t^2}{2}e^{\lambda t}\varepsilon(t)$
      - $\frac{k}{(p-\lambda)^n}\delta(t) = k\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{\lambda t}\varepsilon(t)$
- 连续时间系统的全响应
  - 列出系统的转移算子 $H(p)$
  - 求系统的零输入响应
  - 求系统的零状态响应
    - 1、求系统的冲激响应
    - 2、通过卷积积分,求系统对激励信号的响应
  - 将零输入响应和零状态响应叠加,得到总响应
- 系统对几种特殊激励信号 $e(t) = e^{st}\varepsilon(t)$
- 系统的全响应为:
  - $r(t) = r_{zi}(t) + r_{zs}(t) = \sum_{i = 1}^{n} C_ie^{\lambda_i t}\varepsilon(t) + \sum_{i = 1}^{n}k_i(e^{\lambda_it} \ast e^{st})$
  - 矩形脉冲
  - $e(t) = \varepsilon(t) - \varepsilon(t - t_0)$

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