当且
时，曲线是一条非常接近
的曲线而近似于一条直线。当
时，
，函数经过原点。当r逐渐变大，s为负数。
a <- 1; b <- 1; c <- 0
range(s)
[1] -1.71828 0.00000
参数b的改变对曲线形态的影响
令。
- b为偶数时，
，且当
时，b的取值越大，曲线的弧度越大。当
时，y似乎为无穷大。当
越大，曲线的拐点似乎在右方移动，然而随着
- b为奇数时，
。当
图1 a=1, c=0, b改变时的不同曲线
参数a的改变对曲线形态的影响
- 令
，当a越大（a>0），曲线的拐点越陡峭，越靠近原点附近。y的最大值增速加大。
当，有
。
图2 b=8, c=0, a改变时的不同曲线 - 令
，a越大（a>0），曲线的拐点越明显，越靠近原点附近。
当越大拐点接近于直角，越靠近原点。
图3 b=-2, c=0, a改变时的不同曲线
应用：
使用抽样调查时，r代表调查面积或调查的群体的相对大小。S指代调查得到的物种丰富度，或相对物种丰富度等。
应用的数据集如下：
> spC
X r obv lo hi method
1 1 0.00137174 -0.95 -0.95 -0.95 Circular
2 2 0.00274348 -0.90 -0.95 -0.90 Circular
3 3 0.00411523 -0.85 -0.95 -0.85 Circular
4 4 0.00548697 -0.80 -0.90 -0.80 Circular
5 5 0.00685871 -0.80 -0.90 -0.75 Circular
6 6 0.00823045 -0.75 -0.85 -0.70 Circular
其中obv列为因变量，也就是观测到的结果。lo列为每组观测最低值，hi为每组观测最大值。method列为不同方法，该数据包含C和N两种方法。
数据的散点图分布如下：
图5 数据分布
其中蓝色代表了传统的C方法，红色代表了新的N方法，在这里y轴代表了调查结果（或者说估计结果）与真实结果之间的相对偏差，即：
由于在相对更小面积下调查得到的物种丰富度一定小于真实数量，故y总是小于0。我们想比较这两种方法的优劣，显而易见的是红色的方法更容易达到偏差为0，也就是说，红色的方法在相对更小的调查面积上，得到更接近真实水平的物种丰富度。
根据不同的方法分别对obv和r分别利用公式（1）进行拟合，使用R自带的nls函数。
fitSpC <- nls(obv ~ (1-(exp(a*r)))^b+c, data=spC, start = list(a=-12, b=0.5, c=-1))
summary(fitSpC)
Formula: obv ~ (1 - (exp(a * r)))^b + c
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
a -12.68614 0.28277 -44.9 <2e-16 ***
b 0.47152 0.00952 49.5 <2e-16 ***
c -1.01146 0.00100 -1008.9 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.0225 on 726 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 10
Achieved convergence tolerance: 5.54e-06
cor(spC$obv, predict(fitSpC))
[1] 0.983294
fitSpN <- nls(obv ~ (1-(exp(a*r)))^b+c, data=spN, start = list(a=-63, b=0.5, c=-1))
summary(fitSpN)
Formula: obv ~ (1 - (exp(a * r)))^b + c
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
a -6.40e+01 8.17e-01 -78.3 <2e-16 ***
b 5.73e-01 7.63e-03 75.1 <2e-16 ***
c -1.00e+00 2.61e-04 -3833.1 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.00682 on 726 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 5
Achieved convergence tolerance: 9.93e-06
cor(spN$obv, predict(fitSpN))```
[1] 0.993705
图6 散点分布图与拟合曲线
