1、数列的最值分析

本期我们分享的内容是关于数列专题的，数列专题考察的内容大多是基于通项公式和前n项和公式，然而综合性比较强的数列题目会结合存在性问题或者恒成立问题进行考察，此时可能需要分析数列的最值，我们比较擅长分析函数的单调性和最值，到了数列这里与函数的分析又有什么异同呢？本期我们就来探讨这个问题。

预备知识——数列与函数

本期分享的数列题目涉及到数列的最值分析，高中阶段我们比较熟悉的对函数的单调性和最值进行分析，数列和函数最值分析有什么异同呢？我们先来聊一个话题：

数列是不是函数？

要回答这个问题，还得从函数的定义出发，回顾一下函数的定义：

给定两个非空数集A和B，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都存在唯一确定的一个元素与之对应，那么，这样的对应关系（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应法则）叫做集合A到集合B的函数，记作。

用函数的定义研判数列，本质上数列也是一个对应关系，它是正整数集到集合的对应关系，同时对于正整数集中的任何一个元素m，都有唯一确定的元素之对应。因此，数列就是一个函数。

有一个关于函数的比喻是非常恰当的，函数可以视为一个加工机器，我们的原材料是，加工出来的产品就是，加工的过程可以描述为，正如下图所示：

对于数列来说，这个加工机器的原材料就是：正整数。同时数列也可以看作是对一个连续函数的离散采样，例如数列，它背后的连续函数为，数列的函数图像正好是函数在正整数下采样得到的离散点的集合，如下图所示：

蓝色的曲线是函数的图像，洋红色的离散点是数列图像，数列的图像正好是对函数图像的采样。

2、例题分析

3、方法总结

通过上面这道例题分析，在求解数列的最值问题时我们有两种分析思路

函数单调性：我们先分析数列背后那个函数的单调性和最值，然后在函数的最大值点左右选取最近的正整数，通过比较可以得出数列的最值。

作商法：直接考察数列相邻两项的比值，通过比值结果和1的大小比较寻找出数列中的最大值或最小值。

4、例题分析思路

【小结】到此为止，这道数列题目的分析全部结束，其实这道题目的核心是考察数列的最值分析，数列本质上也是函数，只不过自变量的取值并不是离散的，所以函数的那套理论不能直接拿来用，需要在分析的时候做一些简单的处理。

第一问是常规考察，求解数列的通项公式， 根据等比数列的定义求解， 根据题目给定的递推公式求解，最终证明数列为一个等差数列。第二问是重点，题目中描述了一个存在性问题，通过分离参数法把参数和变量分离，存在性问题成立的前提是参数M不大于数列的最大值。在对数列的最大值分析中，通过两种不同的思路进行。函数思路是先分析数列背后的连续函数的单调性，求出函数的最大值，之后再最大值点左右选取最近的两个正整数，通过比较得出数列的最大值；数列思路则是考察数列相邻两项的比值，通过分析比值和1的大小找出数列最大值在哪一项取得，求出数列的最大值。这是两种分析数列最值比较经典的方法，大家可以感受一下，选择自己喜欢的一种方法进行分析。