1
冬季风再次占领了整个东亚，来自西伯利亚的冷空气吹散了南方以南漫长的夏日，进入晴空万里的秋季。
当冬季风吹拂这片土地的时候，可以感受到空气在三维的层面上进行着不同的运动，体现在宏观的高压和低压上。这引出场的散度和通量问题，也就是风流过某一断面的问题。
在此引出场源在单位时间单位体积内流过某一个曲面的物质的量的定义，即流过这一闭合曲面的通量，它在数学上有两种表达形式，分别是
和
，这两种表达形式的值和效果是一样的，可以由高斯公式
证明，其结论为对一个闭合曲面围成的空间的三重积分，相当于对闭合曲面进行曲面积分，其被积函数为流动的方向偏导数。这个结论在后面描述场的散度和通量的关系时可以作为桥梁。
由积分中值定理可以得到
，对上式对单位体积取极限，得到
，因此可以得到散度的表达式为
。从这里可以看到散度就是场源流出的物质在某一点的通量。
另外一种对通量朴素的描述方式是流经闭合曲面时的进出数量，可以用抽象化的箭头表示，当闭合曲面微缩到一个点时，就是散度。而由此可以得到散度正负的定义：当物质流入闭合曲面内多于流出闭合曲面外时，散度为负，当物质流出闭合曲面外多于流入曲面内时，散度为正。
根据上面对方向余弦进行曲面积分的算式可得，散度的大小不仅和物质流动的速度有关，也和物质流动方向和曲面向外的方向向量的夹角的余弦有关。因为向量与向量的点乘为标量，散度是一个标量，其数值值等于在空间中各个正交维度的偏导数之和。即物质垂直于曲面流出或流入，散度最大，而平行于曲面流动的，散度为0。
由于无源场没有物质散发源，因此其各点散度必为0。但没有包含场源的闭合曲面的散度不总为0，因为不同场源可能会相互影响。
散度描述的是向量场的通量密度，同时也可以从向量场构造标量场，在描述物质的运动时有很多的用途。
例如一场冷空气对东亚地区的影响，需要用到大气运动的向量场在点上的散度。例如寒潮影响时，对冷高压的一个中心周边作一个闭合曲面，可以发现这个曲面的通量为正。但对于包围更大的区域的曲面，并不是曲面内每一点的散度都为正。
由于地形、建筑等影响，往往山谷出口（相对风的吹向，下同）会形成风场的散度为正的区域，体现为大气流动趋向于分散。山谷入口则相反，风场散度为负。在某种程度上，散度不为0的任意一个闭合曲面围成的空间都可以作为一个场源。
对于一个有源场，像大气从高压区流出，流入低压区，可以通过在大气压的等压线寻找该点风强的各向差异，分析得到沿着通过这一点的风强的变化相对于各向的偏导数，就可以得到这一点的散度。
上面描述的冬季风，也可以类似于喷泉的水流从水管喷出散射的情况或燃烧的物质散布。其普遍性使得散度得以应用在更多领域。
高斯定理是散度、通量和高斯公式在物理上的最著名应用。可以通过闭合曲面内场源的和求出特定闭合曲面内的通量（即散度的积分）进而减少曲面积分的复杂运算，将在后续文章描述。
散度因其对向量场与标量场的映射，也可以推广到机器学习，进而把数据向量的差异标量化，更加直观地计算数据的离散程度并分析内在关系。
总之，对于有源场，散度的引入可以让场强的离散性和净流动性得到更加直观的体现。因此可以更好地分析通量和源的分布问题。
2
但是，场线并不总是只从场源出发向四处发散的，它也会有环绕着某一个闭合曲线延伸的趋势。例如气旋并不只有发散和吸收大气的能力，还有因地转偏向力和地形等影响造成的旋转趋向的能力。
因此在场论中除了散度之外，还需要引入旋度的意义，也就是向量场在闭合曲线上的环流量，体现维持向量场旋转倾向的作用。
与散度在计算上的不同，因为旋度体现在闭合曲线的切线方向，体现在斯托克斯公式，其表达为
。即场强的流动在某一闭合曲线方向上的分量等于维持场强旋转的作用场通过闭合曲线围成的闭合曲面的量，且闭合曲线方向与闭合曲面的侧遵循右手法则，体现出旋度具有向量叉乘的性质，因此可以从向量的叉乘证明旋度的性质。
在此给出环流量在数学上的体现，就是场强的流动对闭合曲线的线积分。其相当于场在闭合曲线切线方向上的作用效果。其结合环流量维持的向心作用，是场旋转的倾向的源头，就像气旋对流入或流出的空气有向地转偏向力方向的偏转一样。
由于向量场的旋度场体现在其具有旋转倾向的偏导数分量形成的向量上，又因为向量与向量的叉乘仍为向量，因此旋度场是向量场，其方向遵循环流方向的右手定则。
上面解释了宏观层面上的旋度场的定义和体现，但是，如何获得一点的旋转倾向呢？
类似于散度的推导过程，需要定义在一个单位面积的边界上的环流量，也就是对总环流量进行单位化，即
。当平面趋向于一个点，即单位面积趋向于0时，即可得到旋度的表达式为
，其中三个余弦值对应旋度在三个维度的分向量，只是在上式中以数量的形式表示其大小。也可以写成三阶行列式的形式，即
。
这里再次证明了旋度具有向量积的性质，因为斯托克斯公式是闭合曲线在与闭合曲线方向垂直方向上的偏导数的积分，且其方向服从右手法则。这样的性质和向量的叉乘有相似之处。体现在旋度体现为类似一种维持向量场旋转的力矩。
旋度在物理上有很多应用和体现。例如浪花拍打岸边建筑的回流，环绕地球的地磁场都是旋度场的体现。它们旋度的大小在现实中体现在维持物质流旋转的动力。冷高压和台风本身也是一个有源有旋场，其风场不仅有顺等势面而下的一面，还有受地转偏向力等偏转的影响。
旋度在物理计算上也有类似散度的高斯定理一样的简便计算方式——环路定理。其作用为确定一个场是保守力场（即绕任意环路做功为0）还是非保守力场（即存在绕环路做功不为0的环路）。由于有旋场需要克服维持旋转的作用做功，旋度不为0的场是非保守力场。
旋度为0的场被称为无旋场，可以为之定义势能和势以更好地表现其场强随时空的变化。在后面的文章中会继续深入。
对于旋度不为0的有旋场，可以利用涡流做功的原理，制作用于加热的炉具以利用非保守力场的能量。但另一方面，涡流可以消耗环境的能量，体现在台风在洋面上发展之后往往会在海面留下较冷的海水区域，以及使用涡流的耗能作用可以实现机械振动的减小实现缓冲作用。
散度和旋度是向量场的三大特点之二（另一为梯度），它们分别描述向量场的变化幅度，离散幅度，旋转幅度，共同构成了向量场的基本特性。是微积分在物理的另一大应用。
3
随着认识的不断增长，思聪看到了函数结合的不仅是地理科学，还有更抽象的时空和广阔的自然与社会空间。万物皆可函数，感性即是理性，世间万象皆可量化。
他走在建设中的森林公园，这是东平河与汾江河的交叉点，登上20米高的山岗，可以看到一个用于分洪的船闸。（登山栈道建设中）
在这里他知道了如何判断曲面的最大值和最小值。把东看成x方向，北看成y方向，上看成z方向，当山上某一点向二维各向走都是向下的时候，这里就是山的最高峰，也就是对应函数的最大值。
在这一点，对应的函数平面每个方向的一阶偏导数都是0（最高），同时每个方向上的二阶偏导数都是正的（向下凹）。于是就需要求出每个方向的方向导数，也就是
（cos α、cos β为在x方向，y方向方向余弦），之后对其对x、y方向继续求二阶偏导数，得出二阶偏导数的和
。在二元函数下，可以写成
，即
，这个函数的值决定它有无极值。
通过求出极值点后代入，即可算出山的最高最低点和对应的高度。
他骑着电动车在东平河的河堤上，看到太阳下落的轨迹，犹如一条二次曲线。他想到三维空间里运动的物体的轨迹构成了曲线，曲线动而成曲面，曲面交再成曲线，而二次曲线是里面的一种。
例如日落下风筝上的圆形风标，旋转起来就像是椭球面。河道的转弯就像是双曲线的一支，把弯曲的河道沿着一定的轴线旋转一周，就成为了双曲面。跨越河道的桥梁，如果旋转的话，就是旋转抛物面。桥上的桥塔延展出宽度，就是双曲抛物面。
这些二次曲面在坐标中都是一个函数，它们是椭圆、双曲线和抛物线旋转、平移得到的。对应着一条三元二次方程的不同项，可以由唯一的矩阵决定。
这些日落下想象的曲面之间的交线，形成了电动车的轨迹，轮船的尾流，放风筝男孩手中风筝的飞翔路径。
当曲面交叉把极值的条件框住，就是拉格朗日乘数法。
它规定一定的限制条件，去求这个条件下的最大或最小值。例如在夕阳下的东平河畔，求放风筝的男孩，骑电动车的青年，满载陶瓷的轮船相距最近的条件。
相当于位置在二维空间内投影之间距离足够短，使得各自的运行轨迹在相近的位置交汇
这需要一个类似
的方程。然后对每个变量求一阶偏导数，解出辅助变量，代入求值。
他对数学深入了解之后，发现函数中的地图就是一种对世界的数学建模。例如计算人口密度、商业密度等的最大最小值时，可考虑函数的二阶偏导数问题，通过量化的方式解决。
他用线性代数的知识去解市场上的水果价格，用概率论解决助力车的问题，并通过场、向量、分布来描述不同领域的现象。这些都离不开函数的应用。
在未来，他还会用函数的地图，这是数学建模在实际问题和抽象世界问题的应用，可以让问题更加具体化，通过标准化的数学模型进行更有效的计算，预测可知的未来。
4
下面将用这里面的理论分析向量场特征的特殊简化方法。（梯度的应用已经在第3部分中描述）
首先是对有源无旋场的分析。这种场在现实世界的体现是电场、引力场和点光源散发或绝对黑体吸收的光场。由于它们不需要克服场的旋度场做功，在这种场中场力的受力物体绕场内任意闭合回路做功为0，即它们是保守力场，做功与路径无关。
因此可以对它们定义场的势能和势的定义。把它们从一点到另一点做的功的大小作为势能变化的绝对值，规定顺着场强的方向运动时，场力做正功，逆着场强的方向运动时，场力做负功，或称为克服场力做功。并规定场的无穷远处的势能为0，以此作为势能的标准面。
由于物体在场内的势能的绝对值只与物体自身的物理量有关，所以可以为场的势能定义一个只与场自身的性质有关的势。势的定义为场内物体的势能与场内物体的与场受力有关的物理量的比值，可以类比为地图上的高程图。因此场内物体在场内两点之间做功的量就可以统一为势的差的绝对值，并同样地规定场的无穷远处的势为0作为势的标准面。
对势进行分析可以得到势相等的断面，可以划为等势面，并从等势面的疏密程度看到势的变化趋向。一点势变化最快的方向就是它的场强方向。就像大气环流的等压线，其每一点势梯度最大的地方就是它的风的方向。并由此得出，势是标量，多个场的场势的合场势为各个场势的数量和。
而此前所述的高斯公式在有源无旋场中的体现是在曲面内包含的场源物体的产生场的物理量可以通过场强定义式与曲面的面积之积求出。此方法可以简化曲面积分的计算，更简单地分析通过曲面和曲面外的场强，且可以忽略曲面形状以减少复杂的运算。
因为有源无旋场都是保守力场，沿环路做功为0，所以所有有源无旋场的环流都为0，这是斯托克斯公式在它上的体现。
另外是对无源有旋场的分析。这种场在现实世界的体现是磁场，水的涡流，以及感生电动势形成的感生电场。它没有场源，场的维持依靠场绕着某一回路不停旋转产生的旋度场。且旋度场的方向符合右手法则。
也因为这些性质，无源有旋场没有势能和势的概念。因此其场强在闭合曲线上传递，因而通过无源有旋场的闭合曲面的场强必为0，这是高斯定理在无源有旋场上的体现。
而斯托克斯公式在无源有旋场上体现在场强对有向闭合曲线的积分与闭合曲线内包围的激发场的物质的相应物理量有关。也是环路定理在它上的应用。这也相应地简化对高维的曲线积分的计算，以此计算闭合曲线内（以至于闭合曲面内）的激发场的物质的相应物理量的值。例如计算一根柱体从内到外的磁感应强度分布等。
由此得到维持旋转的过程要消耗能量，其能量来源于激发场的物质，例如电磁炉的电流变化引起的感应电场变化等。
有源有旋场的高斯定理和环路定理介于上述两者之间，其计算场强通过闭合曲面的通量和绕闭合环路的环流可以通过一般的对散度或旋度在区域内的积分得到，当闭合曲面的面积或闭合曲线的周长是特殊形状的时候，积分运算可简化为对面积或周长的乘法运算。
总之，高斯定理和环路定理在场通量和环流计算中有重要的作用。例如在雷电时建筑里的人为什么不会被电，分析载流螺绕环的磁场分布，感生电动势的发生等都需要用到它们或它们的特殊化推论。这是高斯公式和斯托克斯公式在物理上的体现，其中上述的简化运算对计算具有特殊性质的场有帮助。
第1、2、4部分写作于2021年12月1日，第3部分写作于2021年3月27日
参考资料
《物理学教程（第三版）》 马文蔚、周雨青、解希顺编，高等教育出版社
https://zhuanlan.zhihu.com/p/166059636
https://zhuanlan.zhihu.com/p/97545154
https://www.zhihu.com/question/21912411/answer/45175714
https://mp.weixin.qq.com/s/s-E-BnEWTkgoFUHULR_Y0w
《高等数学》方明亮、古定桂主编，科学出版社
https://www.zhihu.com/question/22418025/answer/21288727
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIzODExMDE5MA==&mid=442400894&idx=1&sn=2bf9d8932023560cd12d1d57d0c78fdd#rd
https://mp.weixin.qq.com/s/6YrbDSs_qdGuL7G032CsZA
