12.2.1 有限采样
数据截断（truncation） 或者加窗，可以通过将采样得到数据与窗函数相乘。窗函数的边界的设计必须要格外小心，这样可以使得采样函数和窗函数的乘积缩减为标准MRI 采样方法，标准采样方法的表达式如下：
这样，最后得到的信号分布或者实际测量得到的数据，是连续无穷函数，无穷采样函数，窗函数这三个函数的乘积，其表达式如下：
这里，我们发现离散的有限delta函数的加和，其系数是采样得到数据s(p△k)
这里可以看出来，标准采样函数采集数据样本长度为2n,而不是2n+1或者2n-1。
根据标准采样式子，我们可以看出在k-space的采样是有一些不对称的，从-n 到n-1，并不是关于k=0对称的。当然了，如果n足够大的话，标准采样几乎可以认为就是对称采样，可以得到一个很好地数值逼近。选择2n作为采样的长度，主要原因是可以使用FFT算法，从而加快处理计算速度。（FFT本身是一个计算信号傅里叶变换特别高效的算法）
在标准采样式子中，我们可以看到，窗函数有一个1/2△k的位移，这个地方的道理咱们细细道来。
如果没有这样一个位移，那么窗函数就是一个关于原点对称的函数，采样间隔依旧是△k，但是此时窗函数里面一共有2n+1个点。其中位于两边的点会落在边界上面。而如果我们通过微小的向左偏移，窗函数里面就只有2n个数据点，覆盖的范围是[-n,n-1]。
Nyquist定理可以保证数据的充分采样，但是如果数据并没有在假定的位置上采样得到，这样产生的影响，该定理无法解决。在MRI中，采样点的偏移是很常见的，可能源于实验设计或者就是设备物理本身。举个栗子来说，一个均匀的k-space 偏移会导致重建图像的相位偏移（根据傅里叶逆变换），这样的一个相位偏移是关于位置的线性函数。这样的偏移造成的一个显著后果就是相位混叠，造成重建图像的实部的伪迹。一般对于这样的问题，会采用求重建图像的幅度谱来规避相位的问题。当然了除此之外，由于这种偏移，在数据采样和截断过程中，还会有其他的错误产生。
12.2.2 重建图像（spin density）'p(x)
有限采样数据重建得到的图像记作`p(x) ，可以由有限采样的数据的逆傅里叶变换得到，计算式如下：
该重建的函数也具有周期性，周期为FOV L所以Nyquist准则同样适用于截断的数据。
我们这里使用的窗函数（sinc rect/boxcar） 不是理想的delta函数，通常会存在旁瓣泄露，导致图像模糊的后果。当然了，如果rect/boxcar 窗函数的窗宽比较大，那么在频域的采样函数可以逼近delta函数，这里分别给出了sinc窗函数和窗函数rect的simulation结果，都不同程度上存在旁瓣泄露的负面影响。
clc;clear;
%% sinc fucntion
t=-10:0.1:10; % time domain
Fs=10; % sampling rate
y=sinc(t);
figure(1)
subplot(121)
plot(t,y)
title('sinc fucntion time domain')
f_point=linspace(-Fs/2,Fs/2,length(t)); % frequnecy axis
f=fft(y);
f_center=fftshift(f);
subplot(122)
plot(f_point,abs(f_center))
title('sinc fucntion frequency domain')
%% rect fucntion
x=-10:0.1:10;
f=5.*(x<=1&x>=-1);
Fs=10;
figure()
subplot(221)
plot(x,f)
title('rect width=10 time domain')
f_point=linspace(-Fs/2,Fs/2,length(x)); % frequnecy axis
f_center=fftshift(fft(f));
subplot(222)
plot(f_point,abs(f_center))
title('rect width=10 frequency domain')
f=5.*(x<=4&x>=-4);
subplot(223)
plot(x,f)
title('rect width=10 time domain')
f_point=linspace(-Fs/2,Fs/2,length(x)); % frequnecy axis
f_center=fftshift(fft(f));
subplot(224)
plot(f_point,abs(f_center))
title('rect width=10 frequency domain')
