信息熵公式的解读

之前的文章中在介绍信息这个概念的时候,提到了Shannon在定义信息的时候,引入了信息熵的概念,还给出了信息熵的公式:

H(x)=-\sum P(x_i)\log{P(x_i)}

由于信息的本质是描述事件的确定性,信息的消除具有不可逆性,这符合热力学第二定律中这的这个模型,Shannon借用了热力学中熵的概念(系统无序程度的度量),引入了信息熵的概念,从而实现了信息的定量描述。

说白了,信息熵描述的是事件的不确定性。

举个栗子,关于明天会不会下雨这个事件,在我们没有看天气预报的情况下,对于明天会不会下雨这个事件有两种结果,“会”或者“不会”,是不确定的。

假设看了天气预告,我们知道天气预告一般不会明确告诉你明天会不会下雨,它会告诉你一个下雨的概率,假设天气预告给出的信息:
下雨:P(x_1)=20\%,不下雨:P(x_2)=80\%

那么,我们如何量化这条天气预告包含多少信息量呢?

通过信息熵公式就可以算出来:
因为可性能空间只有“下雨”和“不下雨”两个,所以变异度为2,所以i=1,2。
使用bit(比特)为单位,所以log的底取2.

在以上前提下,套用信息熵公式:
H(x)=-(20\%\times \log_2{20\%}+80\%\times \log_2{80\%})

已经忘记log函数怎么解了,直接用计算器按出结果:
H(x)\approx 0.09691 \quad bit

换算为比较熟悉的单位就是:
\approx 0.0000118 \quad KB

(好吧,我是个数学苦手,写这些公式完全是为了理解信息熵这个概念,要是哪里理解或者计算有错,也感谢大佬指正。)

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