T0004导数原型

有些导数的问题 , 尤其是抽象函数的导数问题 , 需要根据给出的导数还原函数的

形式 , 准确地将含有导数的不等式转化为函数的单调性 , 从而判断原函数的性质 , 例

如下题 :



Litiの1

  设定义在 ( 0 , + ∞ ) 的函数 f ( x ) 的导函数是 f’(x) ,且 x ^4f’(x)+3 x ^3 f ( x ) = e^x ,

f(3)= \frac{e^{3}}{81} , 则 x > 0 时 , f ( x ) 满足 (\quad\quad )

  A . 有极大值 , 无极小值

  B . 有极小值 , 无极大值

  C . 既无极大值 , 又无极小值

D . 既有极大值 , 又有极小值



注本题的关键在于构造原函数的形式 . 常见的构造原函数的方法有 :

( 1 ) ( f ( x ) g ( x ) )’ = f ’( x ) g ( x ) + f ( x ) g’ ( x ) ;

  ( 2 ) ( \dfrac{f(x)}{g(x)})^{ \prime }= \frac{f^{ \prime }(x)g(x)-f(x)g^{ \prime }(x)}{g^{2}(x)} ,

而 ( 1 ) 的两种常用形式为 :

( 3 ) (x^{m}f(x))^{ \prime }=x^{m-1}(xf^{ \prime }(x)+mf(x));

( 4)(e^{nx}f(x))^{ \prime }=e^{nx}(nf(x)+f^{ \prime }(x)).

 在应用中 , 第二种模型一般隐藏分母 , 第三种模型一般隐藏因式 x^{m -1} , 第四种模

型一般隐藏 e^{nx}, 做题过程中可以根据导数的运算法则将其准确还原出来 .

Timoの1

 已知函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且当 x ∈ ( - ∞ , 0 ) 时 ,

f ( x ) ＋xf’( x ) < 0 ( 其中 f ’( x ) 是 f ( x ) 的导函数 ) ,若a = ( 3 ^{0.3} ) · f ( 3^{0.3} ) , b = ( log_\pi 3 ) ·f ( log_ π 3 ) , c=( \log _{3} \frac{1}{9}) \cdot f( \log _{3} \frac{1}{9})

则 a , b , c 的大小关系是 (       )

A . a > b > c \qquad B . c > a > b

C . c > b > a \qquad D . a > c > b





Timoの2


设 f ( x ) 的导函数为 f ′ ( x ) , 已知 ( x -1 ) ( f ′ ( x ) - f ( x ) ) > 0 , f ( 2- x ) = f ( x ) e ^2-2 x ,

则下列判断一定正确的是 (        )

A . f ( 1 ) < f ( 0 ) \qquad \quad B . f ( 2 ) > ef ( 0 )






Timoの3


已知 R 上的奇函数 f ( x ) 满足f’(x)> -2 , 则不等式 f ( x -1 ) < x ^2 ( 3-2 \ln x ) +3 ( 1-2 x )

的解集是 (       )

A . (0, \frac{1}{e}) \quad \quad B . ( 0 , 1 )    C . ( 1 , + ∞ ) \quad D . ( e , + ∞ )




答案

1.D

2.C

3.B


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