2.函数的性质

一.函数的单调性与最值

题型一:判断证明函数的单调性

证明函数 $f( x) =-\sqrt{x}$ 在定义域上是减函数.
证明函数 $f( x) =x+\frac{1}{x}$ 在 $\left[\text{1,} +\infty \right)$ 上是增函数.
讨论函数 $f( x) =\frac{ax}{x^{2} -1}( a\neq 0)$ 在 $\left( -\text{1,} 1\right)$ 上的单调性.

题型二:复合函数单调性

已知函数 $f( x)$ 与 $g( x)$ 均是定义域为 $R$ 的增函数,判断下列函数的单调性
（1） $y=-2f( x)$
（2） $y=f( x) +2g( x)$
（3） $y=f[ -g( x)]$
函数 $f( x) =\sqrt{-x^{2} +2x+3}$ 的单调递减区间是_____________.

题型三:利用函数的单调性比较大小

已知函数 $y=f( x)$ 在 $\left[\text{0,} +\infty \right)$ 上是减函数,试比较 $f\left(\frac{3}{4}\right)$ 与 $f\left( a^{2} -a+1\right)$ 的大小.

题型四:利用函数的单调性解不等式

已知 $f( x)$ 为 $R$ 上的减函数,则满足 $f\left(\left| \frac{1}{x}\right| \right) < f( 1)$ 的实数 $x$ 的取值范围是___________.

题型五:抽象函数单调性的证明

已知函数 $f( x)$ 对任意 $x,y\in R$ ,总有 $f( x) +f( y) =f( x+y)$ ,且当 $x >0$ 时, $f( x) < 0$ 且 $f( 1) =-\frac{2}{3}$ .
（1）求证 $f( x)$ 在 $R$ 上是减函数;
（2）求 $f( x)$ 在 $\left[ -\text{3,} 3\right]$ 上的最大值和最小值.

题型六:定轴动区间与定区间动轴问题

求函数 $f( x) =-x^{2} +3x+4$ 在区间 $[ t,t+1]$ 上的最值.
求函数 $f( x) =x^{2} +mx+1$ 在区间 $\left[ -\text{1,} 1\right]$ 上的最值.
已知函数 $f( x) =x^{2} +ax+3$ .
（1）当 $x\in R$ 时, $f( x) \geq a$ 恒成立,求 $a$ 的范围;
（2）当 $x\in \left[ -\text{2,} 2\right]$ 时, $f( x) \geq a$ 恒成立,求 $a$ 的范围.

课后练习

函数 $f( x)$ 在 $( a,b)$ 和 $( c,d)$ 都是增函数,若 $x_{1} \in ( a,b) ,x_{2} \in ( c,d)$ ,且 $x_{1} < x_{2}$ 那么___________.
A. $f( x_{1}) < f( x_{2})$
B. $f( x_{1}) >f( x_{2})$
C. $f( x_{1}) =f( x_{2})$
D.无法确定
函数 $f( x)$ 是 $R$ 上的增函数,若对于任意的 $x_{1} ,x_{2} \in R$ 都 $f( x_{1}) +f( x_{2}) \geq f( -x_{1}) +f( -x_{2})$ 成立,则必有___________.
A. $x_{1} \geq x_{2}$
B. $x_{1} \leq x_{2}$
C. $x_{1} +x_{2} \geq 0$
D. $x_{1} +x_{2} \leq 0$
已知 $f( x)$ 在实数集上是减函数,若 $a+b\leq 0$ ,则下列正确的是___________.
A. $f( a) +f( b) \leq -[ f( a) +f( b)]$
B. $f( a) +f( b) \leq f( -a) +f( -b)$
C. $f( a) +f( b) \geq -[ f( a) +f( b)]$
D. $f( a) +f( b) \geq f( -a) +f( -b)$
函数 $y=| x+2| +| x-1|$ 的单调递增区间是___________.
函数 $y=\left| x^{2} -2x-3\right|$ 的单调递增区间是___________.
已知函数 $y=\sqrt{1-x} +\sqrt{x+3}$ 的最大值为 $M$ ,最小值为 $m$ ,则 $\frac{m}{M}$ 的值为___________.
若函数 $y=f( x)$ 的值域是 $\left[\frac{1}{2} ,3\right]$ ,则函数 $F( x) =f( x) +\frac{1}{f( x)}$ 的值域是___________.
已知函数 $f( x) =\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}( a\neq 1)$ .
（1）若 $a >0$ ,则 $f( x)$ 的定义域___________;
（2）若 $f( x)$ 在区间 $\left(\text{0,} 1\right]$ 上是减函数,则实数 $a$ 的取值范围是___________.
$y=x^{2} -3x-4$ 的定义域为 $\left[\text{0,} m\right]$ ,值域为 $\left[ -\frac{25}{4} ,-4\right]$ ,则实数 $m$ 的取值范围是___________.
对于每个实数 $x$ ,设 $f( x)$ 是 $y=4x+1$ , $y=x+2$ , $y=-2x+4$ 三个函数中的最小值,则 $f( x)$ 的最大值是___________.
对 $a,b\in R$ ,记 $\max\{a,b\} =\begin{cases} a,a\geqslant b\\ b,a< b \end{cases}$ ,则函数 $f( x) =\max\{| x+1| ,| x-2| \}( x\in R)$ 的最小值是___________.
$f( x) =ax^{2} +( 2a-1) x-3( a\neq 0)$ 在区间 $\left[ -\frac{3}{2} ,2\right]$ 上的最大值为1,则实数 $a$ 的值是___________.
判断函数 $y=-x^{3} +1$ 的单调性并用单调性的定义证明你的结论.
利用定义判断函数 $f( x) =x+\sqrt{x^{2} +1}$ 在区间 $( -\infty ,+\infty )$ 上的单调性.
若非零函数 $f( x)$ 对任意实数 $a,b$ 均有 $f( a+b) =f( a) \cdot f( b)$ ,且当 $x< 0$ 时, $f( x) >1$ .
（1）求证: $f( x) >0$ ;
（2）求证: $f( x)$ 为减函数
（3）当 $f( 4) =\frac{1}{16}$ 时,解不等式 $f( x-3) \cdot f\left( 5-x^{2}\right) \leq \frac{1}{4}$ .
已知定义域为 $\left[\text{0,} 1\right]$ 的函数 $f( x)$ 同时满足:①对于任意 $x\in \left[\text{0,} 1\right]$ ,总有 $f( x) \geq 0$ ;② $f( 1) =1$ ; ③若 $x_{1} \geq \text{0,} x_{2} \geq 0$ , $x_{1} +x_{2} \leq 1$ ,则有 $f( x_{1} +x_{2}) \geq f( x_{1}) +f( x_{2})$ .
（1）求 $f( 0)$ ;
（2）求函数 $f( x)$ 的最大值.

17.设函数 $f( x) =x-\frac{1}{x}$ .对任意 $x\in \left[\text{1,} +\infty \right)$ , $f( m) < f( x)$ 恒成立,求实数 $m$ 的取值范围.

18.设函数 $f( x) =ax^{2} -2x+2$ 对于任意 $x\in \left(\text{1,} 4\right)$ 都有 $f( x) >0$ ,求实数 $a$ 的取值范围.

二.函数的奇偶性

题型一:判断函数的奇偶性

1.判断下列函数奇偶性并证明:
（1） $f( x) =x^{5}$

（2） $f( x) =x+\frac{1}{x}$

（3） $f( x) =\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{| x+2| -2}$

题型二:利用奇偶性求函数值、解析式,解不等式

已知 $f( x) =ax^{5} +bx^{3} +cx-8$ ,且 $f( d) =10$ ,求 $f( -d)$ .
已知 $f( x)$ 是奇函数,当 $x< 0$ 时, $f( x) =x( x-2)$ ,求 $x >0$ 时, $f( x)$ 的解析式.

3.设 $f( x)$ 在 $R$ 上是偶函数,在 $( -\infty ,0)$ 上递增,且有 $f\left( 2a^{2} +a+1\right) < f\left( 3a^{2} -2a+1\right)$ ,求 $a$ 的取值范围.

课后练习

定义在 $R$ 上的函数 $f( x)$ 满足:对任意 $x_{1} ,x_{2} \in R$ 有 $f( x_{1} +x_{2}) =f( x_{1}) +f( x_{2}) +1$ ,则___________.
A. $f( x)$ 为奇函数
B. $f( x)$ 为偶函数
C. $f( x) +1$ 为奇函数
D. $f( x) +1$ 为偶函数
下列判断正确的是___________.
A.函数 $f( x) =\frac{x^{2} -2x}{x-2}$ 是奇函数
B.函数 $f( x) =( 1-x)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 是偶函数
C.函数 $f( x) =x+\sqrt{x^{2} -1}$ 是非奇非偶函数
D.函数 $f( x) =1$ 既是奇函数又是偶函数
函数 $f( x) =|x+a|-|x-a|( a\neq 0)$ , $h( x) =\left\{\begin{array}{ c } -x^{2} +x,x >0\\ x^{2} +x,x\leq 0 \end{array}\right.$ ,则 $f( x)$ , $h( x)$ 的奇偶性依次为
___________.
A.偶函数,奇函数
B.奇函数,偶函数
C.偶函数,偶函数
D.奇函数,奇函数
设函数 $f( x)$ 和 $g( x)$ 分别是 $R$ 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是___________.
A. $f( x) +|g( x) |$ 是偶函数
B. $f( x) -|g( x) |$ 是奇函数
C. $|f( x) |+g( x)$ 是偶函数
D. $|f( x) |-g( x)$ 是奇函数
若函数 $f( x) =\frac{x}{( 2x+1)( x-a)}$ 为奇函数,则 $a=$ ___________.
设偶函数 $f( x)$ 满足 $f( x) =2x-4( x\geq 0)$ ,则不等式 $f( x-2) >0$ 的解集为___________.
已知 $f( x)$ 为奇函数, $g( x) =f( x) +9$ , $g( -2) =3$ ,则 $f( 2) =$ ___________.
已知函数 $f( x) =( m-1) x^{2} +( m-2) x+\left( m^{2} -7m+12\right)$ 为偶函数,则 $m$ 的值是___________.
设奇函数 $f( x)$ 的定义域为 $\left[ -\text{5,} 5\right]$ ,若当 $x\in \left[\text{0,} 5\right]$ 时, $f( x)$ 的图象如右图,则不等式 $f( x) < 0$ 的解集是___________.
已知 $f( x) =x^{5} +ax^{3} +bx+8$ , $f( -2) =10$ ,则 $f( 2) =$ ___________.
定义在 $R$ 上的奇函数 $f( x)$ ,当 $x< 0$ 时, $f( x) =x^{2} -x-1$ ,那么 $x >0$ 时, $f( x) =$ ___________.
若函数 $f( x) =\frac{x+a}{x^{2} +bx+1}$ 在 $\left[ -\text{1,} 1\right]$ 上是奇函数,则 $f( x)$ 的解析式为___________.
设函数 $f( x)$ 与 $g( x)$ 的定义域是 $\{x|x\in R,x\neq \pm 1\}$ , $f( x)$ 是偶函数, $g( x)$ 是奇函数,且 $f( x) +g( x) =\frac{1}{x-1}$ ,求 $f( x)$ 与 $g( x)$ 的解析式.
已知函数 $f( x)$ 在 $\left( -\text{1,} 1\right)$ 上有定义,当且仅当 $0< x< 1$ 时, $f( x) < 0$ ,且对任意 $x,y\in \left( -\text{1,} 1\right)$ ,都有 $f( x) +f( y) =f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$ .证明:
（1） $f( x)$ 为奇函数;
（2） $f( x)$ 在 $\left( -\text{1,} 1\right)$ 上单调递减.

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2.函数的性质

一.函数的单调性与最值

题型一:判断证明函数的单调性

题型二:复合函数单调性

题型三:利用函数的单调性比较大小

题型四:利用函数的单调性解不等式

题型五:抽象函数单调性的证明

题型六:定轴动区间与定区间动轴问题

课后练习

二.函数的奇偶性

题型一:判断函数的奇偶性

题型二:利用奇偶性求函数值、解析式,解不等式

课后练习

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