1．不可公度的发现
［辗转丈量法］设a＜b，我们用a为尺去丈量b，若恰能整量，即b＝n1·a，则显然a本身就是｛a、b｝的最长公尺度，如用2为尺丈量6，则6＝3·2，不然b＝n1a＋r1，r1＜a，再用r1为尺丈量a，若恰好整量，则r1即为｛a、b｝的最长公尺度，不然a＝n2r1＋r2，再用r2为尺丈量r1，如此辗转丈量，一直到rk恰好整量r(k－1)为止，则rk即为所求的最长公尺度。我们现在都知道可公度性在有理数系中是普遍存在的，但二千五百多年前毕达哥拉斯派认为“可公度性普遍存在”，那么数轴每个点都是有理点，这是个谬误。
话说当年，希帕索斯(Hippusus)在沙盘上用芦杆画了一个正五边形(图略)，然后开始用当时已经熟知的等腰三角形内角和恒等于丌(平角)和两底角相等的性质得出多边形的内角和为(n－2)丌，所以五边形的内角和为3兀，上述正五边形A1B1B2C1C2的每个内角为3兀/5．由此可见等腰三角形B1B2C2两底角为兀/5；对角线B1C2和B2C1交点为A2，则有三角形C1A2C2的两底角皆为2兀/5，即三角形A2B2C2的两底角皆为兀/5，所以它们都是等腰三角形．希帕索斯惊奇的发现用正五边形的边长a去丈量对角线b，其余段r1就是等腰三角形A2B2C2的等边边长。若将线段C1C2延长一段C2C3＝r1；B1B2延长一段B2B3＝r1，连接B3C3，易证五边形A2B2B3C2C3是正五边形，且边长为r1，对角线长为a．因此我们再用r1去丈量a，在本质上又是用一个正五边形的边长去丈量其对角形．同理所得余数r2又是更小的正五边形的边长，r1为其对角线，这说明｛a、b｝的辗转丈量必然是永无止境的，即找不到一个最长公尺度，因此｛a、b｝必然是不可公度的。这个惊人的发现事实胜于雄辩地证明了当时定量几何基础的头号基石一一“可公度性的普遍成立”其实根本就是一个错误的“公设”。
希帕索斯的伟大发现是人类理性文明的重要里程碑，有如发现了一个理念上的新大陆，它不单对定量几何有根本的重要性，其实对整个自然科学都有深远的影响。但是当时古希腊几何学界，特别是希帕索斯本人的毕达哥拉斯学派对于这个伟大的发现的反应，却是全然无理性的，他们不愿接受这样的事实和真理。希帕索斯反而因为这个伟大的发现而丧生于同门之手，为科学付出了生命的代价。
