等比数列求和公式推导

等比数列定义：
一个数列\mathrm{A}，满足\frac{\mathrm{A}_{n + 1}}{\mathrm{A}_n} = q, (n \in \mathbb{N^*}).

如何用公式计算\sum_{i = 1}^{n}\mathrm{A_i}呢？

我们来推导一下：
设\mathrm{S_n} = \sum_{i = 1}^{n}\mathrm{A_i}，公比为q (q \not= 1)。

q \times \mathrm{S_n} = q \times \mathrm{A_1} + q \times \mathrm{A_2} + ... + q \times \mathrm{A_n} = \mathrm{A_2} + \mathrm{A_3} + ... + \mathrm{A_{n + 1}}

\mathrm{S_n} - q \times \mathrm{S_n} = (1 - q) \times \mathrm{S_n} = \mathrm{A_1} - \mathrm{A_{n + 1}}

\mathrm{A_{n+1}} = \mathrm{A_1} \times q^n

\mathrm{S_n} = \mathrm{A_1} \times \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{\mathrm{A_1} - \mathrm{A_1} \times q^n}{1 - q} = \frac{\mathrm{A_1} - \mathrm{A_n} \times q}{1- q} = \frac{\mathrm{A_n} \times q - \mathrm{A_1}}{q - 1}

整理上述公式，可得
\mathrm{S_n} = n \times \mathrm{A_1}, (q = 1)
\mathrm{S_n} = \frac{\mathrm{A_n} \times q - \mathrm{A_1}}{q - 1}, (q \not= 1.0)
不写1.0 LaTex会出锅，我也不知道为啥。。。

2020 RP++

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