MBA老吕数学-4-数列

MBA老吕数学-4-数列

@(MBA备考)
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第四章 数列

1 数列的概念和性质

S_n=a_1+a_2+....+a_n
a_n=S_n - S_{n-1} (当n\ge2时)
数列按单调性分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列

单调性判别：

  • 比差法 a_{n+1}-a_n \ ?>0 \ ?<0
  • 比商法 \frac{a_{n+1}}{a_n} \ ?>1 \ ?<1

2 等差数列

等差数列通项公式：a_n=a_1+(n-1)d
整理为:a_n=nd+(a_1-d)，d是直线的斜率。

求和公式

前n项和：
①类似梯形公式
S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}
②类似三角形公式
S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d

image.png

③整理后类似抛物线公式
S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=An^2+Bn
对称轴=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}，最值取在最靠近对称轴的整数处。
首项=A+B，d=2\cdot A

当a_1>0，d<0即初始值为正，等差为负，S_n有极大值，求解a_n=a_1+(n-1)d\ge 0，可得S_n极大值时的n$
反之有极小值，亦然。

\frac{a_n-a_m}{n-m}=d

中项公式

2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}

下标和定理

等差数列中，若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q（适用于更多项相加）

连续等长片段和定理

若等差数列{a_n}，公差为d，则S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}，...也成等差数列，新公差为m^2d

image.png

3 等比数列

等比数列不能出现0。形如{0,0,0,0......}的数列不叫等比数列，可以称为常数列或等差数列。
通项公式：\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(n∈N^*,q\neq 0)

和

当q= 1时，S_n=nq,当q\neq 1时
S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1}{q-1}(q^n-1)
当n→∞，且|q|<1时，S=\lim_{n \to ∞}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}
求和式推导：数列n=4,\{a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3\},则S_4=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3
S_4\cdot (1-q)=a_1(1+q+q^2+q^3)(1-q)=a_1(1-q^4)=a_1(1-q^n)
S_4=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
\frac{a_1}{q-1}是常数项，S_n的值取决于q^n-1的指数函数。

形如k(q^n-1)的函数都是等比数列的和式。

易错：使用等比数列的求和公式，应分q=1 与 q\neq 1两种情况讨论

等比中项

a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}

下标和定理

若m+n=p+q，则a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q(可推广到更多项)

若等比数列的总项数为奇数，则：
a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=...=a_{\frac{1+n}{2}^2}
若p<0，则所有奇数项同号，偶数项同号

连续等长片段和定理

若等比数列{a_n}，公比为q，则S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}，...也成等比数列，新公比为q^m

其他

1、求等差数列S_n的最值

  • 一元二次函数法: 对称轴n=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}，最值取在最靠近对称轴的整数处。
  • a_n=0法：S_n的最值出现在变号的时候，另a_n=0,若n为整数，则前一个数的S_n也是最值。若n带小数，则更靠近其的整数为最值。

2、奇数项偶数项问题

  • 等差数列有2n项，则S_奇-S_偶=-nd，\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{a_n}{a_n+1}
  • 等差数列有2n+1项，则S_奇-S_偶=a_{n+1}（即a_中），\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{n+1}{n}

3、两个等差数列S_n之比

等差数列{a_n}、{b_n}的前2k-1项和分别用S_{2k-1}、T_{2k-1}表示，则\frac{a_k}{b_k}=\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}

4、等差数列的判定

  • 特值法：令n=1、2、3看是否等差
  • 通项公式特征是否形如一个一元一次函数：a_n=A\cdot n+B
  • 前n项和S_n是否形如：S_n=An^2+Bn
  • 递推法：
    • a_{n+1}-a_n=d \Leftrightarrow \{a_n\}是等差
    • 满足中项公式2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}是等差

5、等比数列判定

  • 特值法：令n=1、2、3看是否等比
  • 通项公式是否形如：a_n=A\cdot q^n，A、q不为0
  • 前n项和公式是否形如：S_n=\frac{a_1}{q-1}q^n-\frac{a_1}{q-1}=k\cdot q^n-k，k不为0.
  • 递推法：
    • 满足\frac{a_{n+1}}{a_n}=q，q≠0，是等比数列
    • 满足等比中项公式：a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}，是等比数列
  • 若\{a_n\}是等比数列，则\{a_n^m\}、\{a_n^2\}、 \{a_{2n}\}、\{\frac{1}{a_n}\}、\{|a_n|\}也是等比数列
6、特殊数列求和
  • 特殊等差（就是\frac{n(头项+尾项)}{2}）
    • 1+2+3+4+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
    • 1+3+5+7+...+(2n-1) = n^2
    • 2+4+6+8+...+ 2n = n^2+n
  • 其他数列
    • 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
    • 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \big[ \frac{n(n+1)}{2}\big]^2
    • b_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},数列和S_n=\frac{n}{n+1}

解题思路

易错点
  • 非零常数列即是等差又是等比，零常数列只是等差
    • a_1=a_2=a_3≠0，时即是等差又是等比
    • a_1=a_2=a_3=0，时 是等差，不是等比
求解等差数列规律
  • 有m、n的用特值代入，如令m=1，n=2等
  • 找下标规律。下标和相等么？【下标和定理】。能用中项定理么？能用等长片段？
  • 最后才是硬解
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