MBA老吕数学-4-数列

@(MBA备考)
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第四章数列

1 数列的概念和性质

$S_n=a_1+a_2+....+a_n$
$a_n=S_n - S_{n-1} (当n\ge2时)$
数列按单调性分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列

单调性判别：

比差法 $a_{n+1}-a_n \ ?>0 \ ?<0$
比商法 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ ?>1 \ ?<1$

2 等差数列

等差数列通项公式： $a_n=a_1+(n-1)d$
整理为: $a_n=nd+(a_1-d)$ ，d是直线的斜率。

求和公式

前n项和：
①类似梯形公式
$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
②类似三角形公式
$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d$

image.png

③整理后类似抛物线公式
$S_n=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n=An^2+Bn$
对称轴 $=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$ ，最值取在最靠近对称轴的整数处。
首项 $=A+B$ ， $d=2\cdot A$

当 $a_1>0，d<0$ 即初始值为正，等差为负， $S_n$ 有极大值，求解 $a_n=a_1+(n-1)d\ge 0$ ，可得 $S_n$ 极大值时的n$
反之有极小值，亦然。

$\frac{a_n-a_m}{n-m}=d$

中项公式

$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$

下标和定理

等差数列中，若 $m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q$ （适用于更多项相加）

连续等长片段和定理

若等差数列 ${a_n}$ ，公差为d，则 $S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}，...$ 也成等差数列，新公差为 $m^2d$

image.png

3 等比数列

等比数列不能出现0。形如{0,0,0,0......}的数列不叫等比数列，可以称为常数列或等差数列。
通项公式： $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q(n∈N^*,q\neq 0)$

和

当 $q= 1时，S_n=nq$ ,当 $q\neq 1时$
$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1}{q-1}(q^n-1)$
当 $n→∞，且|q|<1时，S=\lim_{n \to ∞}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}$
求和式推导：数列 $n=4,\{a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3\},则S_4=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3$
$S_4\cdot (1-q)=a_1(1+q+q^2+q^3)(1-q)=a_1(1-q^4)=a_1(1-q^n)$
$S_4=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
$\frac{a_1}{q-1}是常数项，S_n的值取决于q^n-1的指数函数。$

形如 $k(q^n-1)$ 的函数都是等比数列的和式。

易错：使用等比数列的求和公式，应分 $q=1 与 q\neq 1$ 两种情况讨论

等比中项

$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$

下标和定理

$若m+n=p+q，则a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$ (可推广到更多项)

若等比数列的总项数为奇数，则：
$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=...=a_{\frac{1+n}{2}^2}$
若p<0，则所有奇数项同号，偶数项同号

连续等长片段和定理

$若等比数列{a_n}，公比为q，则S_m，S_{2m}-S_m，S_{3m}-S_{2m}，...也成等比数列，新公比为q^m$

其他

1、求等差数列 $S_n$ 的最值

一元二次函数法: 对称轴 $n=\frac{1}{2}-\frac{a_1}{d}$ ，最值取在最靠近对称轴的整数处。
$a_n=0$ 法： $S_n$ 的最值出现在变号的时候，另 $a_n=0$ ,若n为整数，则前一个数的 $S_n$ 也是最值。若n带小数，则更靠近其的整数为最值。

2、奇数项偶数项问题

等差数列有2n项，则 $S_奇-S_偶=-nd，\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{a_n}{a_n+1}$
等差数列有2n+1项，则 $S_奇-S_偶=a_{n+1}（即a_中），\frac{S_奇}{S_偶}=\frac{n+1}{n}$

3、两个等差数列 $S_n$ 之比

等差数列 ${a_n}、{b_n}$ 的前2k-1项和分别用 $S_{2k-1}、T_{2k-1}$ 表示，则 $\frac{a_k}{b_k}=\frac{S_{2k-1}}{T_{2k-1}}$

4、等差数列的判定

特值法：令n=1、2、3看是否等差
通项公式特征是否形如一个一元一次函数： $a_n=A\cdot n+B$
前n项和 $S_n$ 是否形如： $S_n=An^2+Bn$
递推法：
- $a_{n+1}-a_n=d \Leftrightarrow \{a_n\}$ 是等差
- 满足中项公式 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$ 是等差

5、等比数列判定

特值法：令n=1、2、3看是否等比
通项公式是否形如： $a_n=A\cdot q^n$ ，A、q不为0
前n项和公式是否形如： $S_n=\frac{a_1}{q-1}q^n-\frac{a_1}{q-1}=k\cdot q^n-k$ ，k不为0.
递推法：
- 满足 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ ，q≠0，是等比数列
- 满足等比中项公式： $a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$ ，是等比数列
若 $\{a_n\}$ 是等比数列，则 $\{a_n^m\}、\{a_n^2\}、 \{a_{2n}\}、\{\frac{1}{a_n}\}、\{|a_n|\}$ 也是等比数列

6、特殊数列求和

特殊等差（就是）
- 1+2+3+4+...+n = $\frac{n(n+1)}{2}$
- 1+3+5+7+...+(2n-1) = $n^2$
- 2+4+6+8+...+ 2n = $n^2+n$
其他数列
- $1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
- $1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \big[ \frac{n(n+1)}{2}\big]^2$
- $b_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},数列和S_n=\frac{n}{n+1}$